📂함수

역쌍곡함수

정의¹

쌍곡함수의 역함수를 역쌍곡함수라 한다.

$$\begin{align*} y = \sinh^{-1} x &\iff \sinh y = x \\ y = \cosh^{-1} x &\iff \cosh y = x \\ y = \tanh^{-1} x &\iff \tanh y = x \\ \end{align*}$$

클로즈드 폼

역쌍곡함수의 함숫값은 구체적으로 다음과 같다.

$$\begin{align*} \sinh^{-1} x &= \ln \left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) & x \in \mathbb{R} \\ \cosh^{-1} x &= \ln \left( x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) & x \le 1 \\ \tanh^{-1} x &= \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right) & -1 \lt x \lt 1 \\ \end{align*}$$

증명

$\sinh^{-1} x$

방법1

$y = \sinh^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\sinh y = x$이므로,

$$\dfrac{e^{y} - e^{-y}}{2} = x \implies e^{y} - e^{-y} - 2x = 0$$

$e^{y}$을 곱하고 $e^{y}$에 대한 2차 방정식으로 정리하자.

$$(e^{y})^{2} - 2x(e^{y}) - 1 = 0$$

근의 공식으로 근을 구하면,

$$e^{y} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}$$

이때 $x \le \sqrt{x^{2}} < \sqrt{x^{2} + 1}$이고, $e^{y} > 0$이므로 가능한 경우는,

$$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$$

양변에 로그를 취하면,

$$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$$

방법2

$y = \sinh^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\sinh y = x$이다. $\cosh x + \sinh x = e^{x}$이므로, 양변에 $\cosh y$를 더하면,

$$e^{y} = x + \cosh y$$

또한 항등식 $\cosh^{2}x - \sinh^{2}x = 1$을 이용하면 다음을 얻는다.

$$e^{y} = x + \sqrt{\sinh^{2} y + 1} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$$

양변에 로그를 취하면,

$$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$$

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$\cosh^{-1} x$

$\sinh^{-1} x$를 구하는 것과 같은 방법이니 간단히 적으면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && y &= \cosh^{-1} x \\ \implies && \cosh y &= x \\ \implies && \cosh y + \sinh y &= x + \sinh y \\ \implies && e^{y} &= x + \sqrt{\cosh^{2}y - 1} \\ \implies && e^{y} &= x + \sqrt{x^{2} - 1} \\ \implies && y &= \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) \end{align*}$$

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$\tanh^{-1} x$

설명없이 과정만 간단히 적으면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && y &= \tanh^{-1} x \\ \implies && \tanh y &= x \\ \implies && \dfrac{e^{y} - e^{-y}}{e^{y} + e^{-y}} &= x \\ \implies && \dfrac{e^{2y} - 1}{e^{2y} + 1} &= x \\ \implies && e^{2y} - 1 &= x (e^{2y} + 1) \\ \implies && e^{2y} - xe^{2y} &= x + 1 \\ \implies && (1 - x)e^{2y} &= x + 1 \\ \implies && e^{2y} &= \dfrac{1 + x}{1 - x} \\ \implies && y &= \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right) \\ \end{align*}$$

정의역과 치역

$$\begin{align*} \sinh^{-1} &: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \cosh^{-1} &: [1, \infty) \to [0, \infty) \\ \tanh^{-1} &: (-1, 1) \to \mathbb{R} \end{align*}$$

도함수

• 유도 과정

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dx} (\sinh^{-1} x) &= \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \qquad & \dfrac{d}{dx} (\csch^{-1} x) &= - \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2} + 1}} \\ \dfrac{d}{dx} (\cosh^{-1} x) &= \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \qquad & \dfrac{d}{dx} (\sech^{-1} x) &= - \dfrac{1}{x\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \dfrac{d}{dx} (\tanh^{-1} x) &= \dfrac{1}{1 - x^{2}} \qquad & \dfrac{d}{dx} (\coth^{-1} x) &= \dfrac{1}{1 - x^{2}} \end{align*}$$