📂함수

역쌍곡함수의 미분법

공식¹

역쌍곡함수의 도함수는 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dx} (\sinh^{-1} x) &= \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \qquad & \dfrac{d}{dx} (\csch^{-1} x) &= - \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2} + 1}} \\ \dfrac{d}{dx} (\cosh^{-1} x) &= \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \qquad & \dfrac{d}{dx} (\sech^{-1} x) &= - \dfrac{1}{x\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \dfrac{d}{dx} (\tanh^{-1} x) &= \dfrac{1}{1 - x^{2}} \qquad & \dfrac{d}{dx} (\coth^{-1} x) &= \dfrac{1}{1 - x^{2}} \end{align*}$$

설명

역쌍곡함수의 클로즈드 폼은 아래와 같다.

$$\begin{align*} \sinh^{-1} x &= \ln \left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) & x \in \mathbb{R} \\ \cosh^{-1} x &= \ln \left( x + \sqrt{x^{2} - 1} \right) & x \le 1 \\ \tanh^{-1} x &= \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{1 + x}{1 - x} \right) & -1 \lt x \lt 1 \\ \end{align*}$$

증명

$(\sinh^{-1} x)^{\prime}$

연쇄법칙을 이용

$y = \sinh^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\sinh y = x$이므로 양변을 $x$에 대해서 미분하면 연쇄법칙에 의해,

$$\dfrac{d}{dx} \sinh y = (x)^{\prime} \implies \dfrac{d}{dy} \sinh y \dfrac{dy}{dx} = 1 \implies \cosh y \dfrac{dy}{dx} = 1$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cosh y}$$

그런데 $\cosh^{2} y - \sinh^{2} y = 1$이고, $\sinh y = x$이므로,

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{\sinh^{2} y + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

■

로그함수의 미분법을 이용

로그 함수의 미분법에 의해서,

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dx} (\sinh^{-1} x) &= \dfrac{d}{dx} \ln \left( x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) = \dfrac{(x + \sqrt{x^{2} + 1})^{\prime}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \\[1em] &= \dfrac{1 + \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{\dfrac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \\[1em] &= \dfrac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{(x + \sqrt{x^{2} + 1})\sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \\[1em] \end{align*}$$

■

$(\cosh^{-1} x)^{\prime}$

위와 같은 방법으로 얻을 수 있으므로 간단히 과정만 나열한다.

$$\begin{align*} && & y = \cosh^{-1} x \implies \cosh y = x \implies \dfrac{d}{dx} \cosh y = 1 \\ \implies && & \sinh y \dfrac{dy}{dx} = 1 \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sinh y} \\ \implies && & \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{\cosh^{2} y + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \end{align*}$$

$(\tanh^{-1} x)^{\prime}$

위와 같은 방법으로 얻을 수 있으므로 간단히 과정만 나열한다.

$$\begin{align*} && & y = \tanh^{-1} x \implies \tanh y = x \implies \dfrac{d}{dx} \tanh y = 1 \\ \implies && & \sech^{2} y \dfrac{dy}{dx} = 1 \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sech^{2} y} \\ \implies && & \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 - \tanh^{2} y} = \dfrac{1}{1 - x^{2}} \end{align*}$$