📂행렬대수

대각행렬

대각행렬¹

$A$를 크기가 $n\times m$인 행렬이라고 하자. 행과 열의 번호가 같은 성분, 즉 $a_{ii} (1 \le i \le \min(n,m))$를 주대각성분^{main diagonal elements}이라 한다. 주 대각 성분들을 이은 가상의 선을 주대각선^{main diagonal, principal diagonal} 이라 한다.

주대각성분을 제외한 모든 성분이 $0$인 행렬 $A$를 대각행렬^{diagonal matrix} 이라고 한다.

$$ A = [a_{ij}] = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i \ne j \end{cases} $$

이때 $\delta$는 크로네커 델타이다.

설명

$$ A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} \end{bmatrix} \quad A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{a_{44}} & 0 \end{bmatrix} $$

위의 예시에서 보이듯이 꼭 정사각행렬이 아니어도 주대각성분, 대각행렬을 정의할 수 있다.

정의에 의해 대각행렬은 하삼각행렬이면서 동시에 상삼각행렬이다.

성질

거듭제곱

$A = \begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}$를 크기가 $n\times n$인 대각행렬이라고 하자. 그러면 $A$의 거듭제곱은 다음과 같다.

$$ A^{k}=\begin{bmatrix} (a_{11})^{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (a_{22})^{k} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & (a_{nn})^{k} \end{bmatrix} $$

역행렬

$A$의 역행렬은 다음과 같다. 다시말해 거듭제곱에 대한 성질이 $k$가 음수일 때도 자연스럽게 확장된다.

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$

행렬식

여인자 전개를 생각해보면, 대각행렬의 행렬식은 모든 대각성분의 곱임을 알 수 있다. $n \times n$ 대각행렬 $[a_{ij}]$의 행렬식은,

$$ \det [a_{ij}] = a_{11} \times \cdots \times a_{nn} $$