📂행렬대수

행렬의 정의

정의¹

수를 다음과 같이 직사각형의 모양으로 나열해놓은 것을 행렬^matrix이라고 한다.

$$ A=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 22 \end{bmatrix} $$

나열해놓은 각각의 수를 엔트리^entry 혹은 성분^element이라고 한다. 가로 줄을 행^row이라고 하며, 세로 줄을 열^column이라고 한다. 또한 임의의 행렬이 $m$개의 행과 $n$개의 열을 가지면 그 행렬의 크기를 $m \times n$이라 나타낸다.

위 예시에서 행렬 $A$는 2개의 행과 3개의 열을 가지며 크기는 $2\times 3$이다. 여기에서 주의해야할 점은 $\times$가 곱하기를 의미하는게 아니라는 것이다. 크기는 $2\times 3$과 같이 반드시 행의 수와 열의 수가 드러나도록 표기해야하며 절대 $6$이라고 적으면 안된다. 참고로 '$2 \times 3$ 행렬'은 [투바이쓰리 행렬]이라 읽는다.

표기법

행렬은 주로 아래와 같이 대괄호[]나 소괄호()로 표기하는데 두 표현 모두 메이저하게 볼 수 있다. 다만 손으로 쓸 때 소괄호를 쓰면 예쁘게 쓰기 힘들다. 또한 2차원, 3차원 공간 좌표를 표기할때와 달리 성분과 성분 사이에 쉼표(,)를 적지 않는 것이 기본이다.

$$ A=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 22 \end{bmatrix} \quad A=\begin{pmatrix} 10 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 22 \end{pmatrix} $$

대개 행렬은 대문자로, 성분은 소문자로 표기한다. 가령 행렬 $A$의 1행 3열의 성분은 $3$인데 이를 다음과 같이 표기한다.

$$ a_{13}=3 $$

첫번째 아래첨자는 행의 위치, 두번째 아래첨자는 열의 위치를 나타낸다. 이와 비슷하게 $i$번째 행, $j$번째 열의 성분이 $a_{ij}$인 행렬을 $\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$와 같이 표기한다. $A$의 $(i,j)$ 성분은 $[A]_{ij}$라고 표기한다.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix},\qquad [A]_{ij} = a_{ij} $$

모든 $m\times n$ 행렬의 집합을 다음과 같이 표기한다.

$$ M_{m \times n} $$

크기가 $m\times n$이면서 성분이 실수$\mathbb{R}$, 복소수$\mathbb{C}$인 행렬들의 집합은 각각 다음과 같이 표기한다.

$$ M_{m\times n}(\mathbb{R}),\quad M_{m \times n}(\mathbb{C}) $$

조금 더 추상적으로, 성분이 체 $F$인 $n \times n$ 행렬들의 집합을 $M_{m \times n}(F)$로 표기한다.

열 벡터와 행 벡터

벡터란 수를 가로 혹은 세로로 나열해놓은 것을 말한다. 이러한 점을 생각해봤을 때 어떤 행렬은 열 벡터 혹은 행 벡터를 나열해놓은 것으로 볼 수 있다. 위에서 계속 예시로 들었던 행렬 $A$를 살펴보자.

$$ A= \begin{bmatrix} 10 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 22 \end{bmatrix} $$

$A$의 각 열은 열 벡터 $\begin{bmatrix} 10 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 8 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 22 \end{bmatrix}$로 구성되어있다고 생각할 수 있다. 혹은 각 행이 행 벡터 $\begin{bmatrix} 10 & 0 & 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 8 & 22 \end{bmatrix}$로 구성되어있다고 볼 수 있다.