📂미분적분학

기하 급수

정의¹

$a \ne 0$에 대해서 다음과 같은 급수를 기하급수라 한다.

$$ a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} $$

설명

초항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 무한합이다. $n$번째 항은 $n-1$번째항과 $n+2$번째 항의 기하평균이다.

$$ \sqrt{(ar^{n-1})(ar^{n+1})} = ar^{n} $$

부분합

부분합 $s_{n}$은 다음과 같다.

$$ s_{n} = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} $$

수렴성

기하급수 $\sum ar^{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots$는 $|r| \lt 1$일 때 수렴하고 그 값은

$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} ar^{n} = \dfrac{a}{1 - r} \qquad (|r| \lt 1) $$

$|r| \ge 1$일 때는 발산한다.

증명

$ |r| \lt 1$인 경우

등비수열의 극한이 $0$이므로,

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} & = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{a}{1 - r} - \dfrac{ar^{n}}{1 - r} \right) \\ & = \dfrac{a}{1 - r} - \dfrac{a}{1 - r}\lim\limits_{n \to \infty} r^{n} \\ & = \dfrac{a}{1 - r} \end{align*} $$

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$|r| \ge 1$인 경우

이 경우에서는 $\{ ar^{n} \}$이 $0$으로 수렴하지 않고, 발산 판정법에 의해 발산한다.

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