등비수열의 극한
정리
등비수열 $\left\{ r^{n} \right\}$은 $-1 \lt r \le 1$일 때 수렴하며, 그 값은 다음과 같다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = \begin{cases} 0 & \text{if } -1 \lt r \lt 1 \\ 1 & \text{if } r = 1 \end{cases} $$
증명
$r = 1$
$r = 1$이면,
$$ \lim\limits_{n \to \infty} 1^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1 $$
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$-1 \lt r \lt 1$
$-1 \lt r \lt 1$이면, $| r^{n} | > | r^{n+1} |$이므로, 모든 $\epsilon > 0$에 대해서 다음을 만족하는 $N$이 존재한다.
$$ n \ge N \implies | r^{n} - 0 | \lt \epsilon $$
따라서 수열의 극한의 정의에 의해 $\lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = 0$이다.
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