벡터의 정의
정의
수의 나열을 벡터라 한다.
설명
보통 교과과정에서 벡터는 ‘크기와 방향을 가진 기하학적 객체’로 배우게 된다. 아무래도 물리학에서 가장 먼저 접하게 되는 개념이다보니 다음과 같은 $3$차원 이하의 벡터에 친숙할수밖에 없다.
$$ (3,4) = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} $$ $$ (x,y,z) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$
그런데 사실 벡터는 그보다 더 많은 좌표에 대해 일반화가 가능하다. 단순히 수를 아래로 더 나열하기만하면 충분한데, 예로써 시간 $t$까지 고려한 $4$차원 벡터는 다음과 같이 표기할 수 있다.
$$ (t,x,y,z) = \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$
$4$차원 이상의 벡터는 어떤 의미가 있을까? 가령 산소 분자 하나하나 마다 시간 $t$ 에서의 위치 $(x,y,z)$ 와 열 에너지 $E$를 나타내고 싶다면 다음과 같이 $5$차원으로 확장하면 된다.
$$ (t,x,y,z,E) = \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \\ E \end{bmatrix} $$
요는 벡터의 길이, 즉 차원이 높아진다는 것을 별로 두려워할 필요가 없다는 것이다. 주어진 형식 아래 끝없이 자유로운 수학의 세계에서 이러한 차원의 확장은 자연스럽고 당연한 일이다. 같은 방식으로 $n$차원까지 일반화한 벡터를 생각할 수 있으며, 보통 볼드체 $\mathbf{x}$ 를 사용해서 표기한다.
$$ \mathbf{x} = \left( x_{1}, \cdots , x_{n} \right) = \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} $$
이러한 간단한 정의에서 $n$차원 벡터는 $n$-순서쌍$n$-tuple 과 구분되지 않는다. 물리에서 멀어지고 수학에 가까워질수록 화살표를 사용한 $\vec{x}$ 과 같은 표현은 줄어들게 되며, 추상적이고 일반적인 수학으로 들어가면 ‘좌표’나 ‘나열’ 같은 표현 없이 엄밀하고 정확한 정의를 세우게 된다.