📂동역학

바스 확산 모델: 혁신과 모방

모델 ^{1 2}

$$\dot{N} = \left( p + q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right)$$

변수

• $N(t)$: $t$ 시점에서 집단의 개체수를 나타낸다.

파라미터

• $K$: 환경 용량^{carrying capacity}으로, 집단을 수용할 수 있는 환경의 크기를 묘사한다. 개체수는 환경 용량을 넘어서 성장할 수 없다.
• $p$: 혁신 계수^{coefficient of Innovation} 혹은 전역 성장률^{global Growth rate}로써, 집단의 크기와 상관 없이 성장하는 원동력을 묘사한다. 비즈니스에서는 신제품의 출시에 따른 광고 효과 등이 된다.
• $q$: 모방 계수^{coefficient of Imitation} 혹은 국소 성장률^{local Growth rate}로써, 집단의 크기에 비례해 성장하는 원동력을 묘사한다. 비즈니스에서는 입소문이나 유행하는 것에 해당한다. 비즈니스의 맥락에서 집단의 개체수란 곧 수요자의 수다. 대부분의 독자들이 이해하기 쉽게끔 소비자 지향적으로 설명할테지만, 사실 바스 확산 모델은 혁신으로 판도가 바뀌고 트렌드를 따르는 게 유리한 현상이라면 어디에도 적용될 수 있다.

설명

• 전역 성장: 처음에는 신제품이든 신기술이든 어떤 혁신적인 요소를 어필함으로써 수요자들의 이목을 끌어 전역 성장률 $p$ 에 따라 전역적인 성장을 한다. 특히 초창기에 수요자가 거의 없어서 $N \approx 0$ 으로 가정할 수 있을 때 바스 확산 모델은 $\dot{N} = p$ 으로써 선형적 추세를 반영한다. PR에 의한 성장은 현재 얼마나 많은 사람들이 사용하는지와 상관이 없으며 혁신에 의한 효과가 바뀔 일은 없는 것으로 가정한다.
• 국소 성장: 사용자 집단이 커지기 시작하면 사용하지 않는 집단으로의 확산이 일어난다. 이 확산은 집단의 크기에 비례하며 집단이 환경에서의 점유율을 높여갈수록 국소 성장률 $q$ 이 강한 영향을 미치게 된다. 성장 후반부엔 꼭 남이 사용하는 게 부러워서 자신도 사용하게 되는것뿐만 아니라 다들 사용해서 자연스럽게 수요자가 생기는 것을 반영하게 된다.

유도

로지스틱 성장 모델: $$\dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N)$$

바스 확산 모델은 사실 보편적으로 사용하는 선형 로지스틱 성장 모델의 완전한 일반화다. 단순히 $\displaystyle r := {{ q } \over { K }}$ 로 치환해보면

$$\begin{align*} & \dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N) \\ \implies& \dot{N} = r N \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) \\ \implies& \dot{N} = \left( q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) \end{align*}$$

여기까지는 사실 수식적으로 아무것도 변한 게 없고, 정확히 $p = 0$ 인 경우인 바스 확산 모델 그 자체다. 여기에 첫번째 항 $\displaystyle \left( q {{ N } \over { K }} \right)$ 을 고치자. 집단이 개체수와 상관 없이 최소한의 성장률을 가지게 하려면 간단하게도 이 항에 상수항 $p \ne 0$ 을 더해주면 된다.

$$\dot{N} = \left( p + q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right)$$

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한계

바스 확산 모델의 한계는 단발성 혁신만을 설명한다는 것이다. 현실에서 생태계의 판도를 바꾸는 혁신은 계속해서 나올 수 있으나 바스 확산 모델은 기존의 대세가 영원히 왕좌에서 내려오지 않는 것을 가정하고 있다. 이를 극복하기 위해 일반화된 모델이 바로 노턴-바스 모델^{norton-Bass model} 로써, 계속해서 혁신이 일어나는 것을 반영한다³.