📂동역학

곰페르츠 성장 모델: 시간에 따른 성장 지연

모델 ¹

$$ {{ d N } \over { dt }} = r e^{ - \alpha t} N \qquad, \alpha 0 $$

변수

• $N(t)$: $t$ 시점에서 집단의 개체수를 나타낸다.

파라미터

• $r \in \mathbb{R}$ : 고유 성장률^{intrinsic Rate of Increase}로써, $0$ 보다 크면 성장하고 $0$ 보다 작으면 쇠퇴한다. 번식률^{birth rate} $b$ 와 사망률^{death rate} $d$ 의 차 $r:=b-d$ 로 정의되기도 한다.
• $\alpha>0$: 일종의 감쇠율 을 나타내는 상수로, 클수록 성장세도 빠르게 꺾인다.

설명

멜서스 성장 모델 $\displaystyle {{ d N } \over { dt }} = r N$ 과 비교해보자면 시간에 따른 성장억제를 나타내는 항인 $e^{- \alpha t}$ 가 곱해져 있는 것이 차이점으로, 인구 동역학 모델에선 흔치 않게도 시간 $t$ 에 의존하는 비자율 시스템이다.

합리적인 이유가 있고 실제로 피팅이 된다면 어떤 곳에서 곰페르츠 성장 모델을 쓰든 상관은 없지만 주로 쓰이는 곳은 비즈니스 분야에의 수요 예측 혹은 생물학에서 종양(Tumor)의 성장을 피팅하는 식으로 쓰인다.

• (1) 수요 예측에서 ‘인구’란 재화나 서비스를 원하는 소비자의 수를 의미한다. 새로운 무언가가 시장에 나왔을 때 이것이 소비자들의 마음에 든다면 폭발적인 성장세를 보이며 팔리겠지만 그것도 영원할 순 없고 시간이 지나면서 성장세가 꺾일수밖에 없을 것이다. 이는 로지스틱 성장 모델에서 성장이 멈추는 이유로써 떠올리는 ‘더 이상 수용할 공간이 없어서’나 ‘동종간 경쟁이 심해져서’와는 근본부터 다른 아이디어다.
• (2) 종양의 성장 에서는 종양의 크기가 커질수록 체적에 대한 표면적의 비가 작아지면서 성장 자체에 둔화가 생긴다. 종양을 이루는 세포 자체는 늘어났지만 실제로 종양의 크기를 키울 수 있는 세포가 점점 줄어가는 것을 간단하게 모델링 할 수 있는 것이다.

코드

다음은 본문의 움짤을 만드는 줄리아 코드다.

cd(@__DIR__) # 파일 저장 경로

@time using Plots
@time using DifferentialEquations

#---
end_time = 30.

function logistic_growth!(du,u,p,t)
  N = u[1]
  r, K = p
  du[1] = dN = r/K*N*(K-N)
end
u0 = [1.0]
p = [0.5, 100.]

tspan = (0.,end_time)
prob = ODEProblem(logistic_growth!,u0,tspan,p)
sol1 = solve(prob; saveat=(0.0:0.1:end_time))


function gompertz_growth!(du,u,p,t)
  N = u[1]
  r, α = p
  du[1] = dN = r*exp(-α*t)*N
end
u0 = [1.0]
p = [1., 0.217]

tspan = (0.,end_time)
prob = ODEProblem(gompertz_growth!,u0,tspan,p)
sol2 = solve(prob; saveat=(0.0:0.1:end_time))


compare = plot(sol1,vars=(0,1),
  linestyle = :dash,  color = :black,
  size = (400,300), label = "logistic", legend=:bottomright)

plot!(compare, sol2,vars=(0,1),
  linestyle = :solid,  color = :red,
  size = (400,300), label = "gompertz", legend=:bottomright)

png(compare, "gompertz.png")