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발산 판정법 📂미분적분학

발산 판정법

정리

만약 급수 ∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}이 수렴하면, 수열 {an}\{a_{n}\}은 00으로 수렴한다. ∑n=1∞an is convergent   ⟹  lim⁡n→∞an=0 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent } \implies \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 0

증명

급수의 합이 ∑n=1∞an=s\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s라고 하자. 즉 부분합 sns_{n}에 대해서 lim⁡n→∞sn=s\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = s이다. 그러면 an=sn−sn−1a_{n} = s_{n} - s_{n-1}이므로,

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(sn−sn−1)=lim⁡n→∞sn−lim⁡n→∞sn−1=s−s=0 \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} (s_{n} - s_{n-1}) = \lim\limits_{n \to \infty} s_{n} - \lim\limits_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0

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설명

역은 성립하지 않는다. 즉, 수열 {an}\{a_{n}\}이 00으로 수렴한다고 해서 급수 ∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}이 수렴하는 것은 아니다. 유명한 예로 조화급수가 있다. 조화수열 {1n}\left\{ \dfrac{1}{n} \right\}은 00으로 수렴하나, 조화급수는 수렴하지 않는다.

lim⁡n→∞1n=0 but ∑n=1∞1n=∞ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty

대우를 취하면 발산 판정법divergence test이 된다.

발산 판정법

수열 {an}\{a_{n}\}이 00으로 수렴하지 않으면, 급수 ∑n=1∞an\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 발산한다.