📂미분적분학

조화 급수

정의

다음의 급수를 조화급수^{harmonic series}라 한다.

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots$$

설명

발산 판정법의 대표적인 반례이다. 즉 조화 수열은 수렴하지만, 조화 급수는 발산한다.

$$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty$$

반편 교대조화급수는 수렴한다.

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} = \ln 2$$

수렴성

조화 급수는 발산한다.

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots = \infty$$