리만 제타 함수의 로랑 전개 유도
정리
리만 제타 함수 $\zeta$ 의 로랑 전개는 다음과 같다.
$$ \zeta (s) = {{ 1 } \over { s-1 }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \qquad , s > 1 $$
여기서 $\gamma_{n}$ 은 $n$번째 스틸체스 상수stieltjes constants 로, 다음과 같이 정의된다.
$$ \gamma_{n} := \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left( \log k \right)^{n} } \over { k }} - {{ \left( \log m \right)^{n} } \over { n+1 }} \right) $$
설명
스틸체스 상수는 특히 $n=0$ 일 때 $\gamma_{0} = \gamma$ 로써 오일러-마스케로니 상수다.
이러한 급수전개에 따르면 $\zeta (1-s)$ 의 유수(Residue)는 $1$이다.
유도1
$$ \zeta_{m} (s) := \sum_{k=1}^{m} \left( k^{-s} - {{ m^{1-s} } \over { 1-s }} \right) $$
$\zeta_{m}(s)$ 를 위와 같이 정의하면 $\displaystyle \zeta (s) = \sum_{k \in \mathbb{N}} k^{-s}$ 이므로 $s>1$ 면 $m \to \infty$ 일 때 $\zeta_{m}(s) \to \zeta (s)$ 다. 우변에서 밑과 지수를 뒤집고 지수 함수에 대해 테일러 전개 $\displaystyle { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }$ 를 하면
$$ \begin{align*} & \zeta_{m} (s) + 0 \\ =& \sum_{k=1}^{m} \left( k^{-s} - {{ m^{1-s} } \over { 1-s }} \right) + \left( {{ 1 } \over { 1-s }} - {{ 1 } \over { 1-s }} \right) \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ k^{-s} - {{ m^{1-s} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ {{ 1 } \over { k }} k^{1-s} - {{ e^{(1-s) \log m} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ {{ 1 } \over { k }} e^{(1-s) \log k} - {{ 1 + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ (1-s) \log m \right]^{n+1} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ 1 } \over { k }} {{ \left[ (1-s) \log k \right]^{n} } \over { n! }} - {{ 1 } \over { 1-s }} {{ \left[ (1-s) \log m \right]^{n+1} } \over { (n+1)! }} \right) \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ 1 } \over { k }} {{ (1-s)^{n} \left[ \log k \right]^{n} } \over { n! }} - {{ (1-s)^{n} \left[ \log m \right]^{n+1} } \over { (n+1)! }} \right) \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left[ \log k \right]^{n} } \over { k }} - {{ \left[ \log m \right]^{n+1} } \over { n+1 }} \right) \right] \end{align*} $$
와 같이 깔끔하게 떨어진다. 이제 $s>1$ 면 $m \to \infty$ 를 취했을때 다음을 얻는다.
$$ {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} = \lim_{m \to \infty} \zeta_{m} (s) = \zeta (s) $$
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