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리만 제타 함수의 로랑 전개 유도 📂함수

리만 제타 함수의 로랑 전개 유도

정리

리만 제타 함수 ζ\zeta 의 로랑 전개는 다음과 같다.

ζ(s)=1s−1+∑n=0∞γn(1−s)nn!,s>1 \zeta (s) = {{ 1 } \over { s-1 }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \qquad , s > 1

여기서 γn\gamma_{n} 은 nn번째 스틸체스 상수stieltjes constants 로, 다음과 같이 정의된다.

γn:=lim⁡m→∞∑k=1m((log⁡k)nk−(log⁡m)nn+1) \gamma_{n} := \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left( \log k \right)^{n} } \over { k }} - {{ \left( \log m \right)^{n} } \over { n+1 }} \right)

설명

스틸체스 상수는 특히 n=0n=0 일 때 γ0=γ\gamma_{0} = \gamma 로써 오일러-마스케로니 상수다.

이러한 급수전개에 따르면 ζ(1−s)\zeta (1-s) 의 유수(Residue)는 11이다.

유도1

ζm(s):=∑k=1m(k−s−m1−s1−s) \zeta_{m} (s) := \sum_{k=1}^{m} \left( k^{-s} - {{ m^{1-s} } \over { 1-s }} \right)

ζm(s)\zeta_{m}(s) 를 위와 같이 정의하면 ζ(s)=∑k∈Nk−s\displaystyle \zeta (s) = \sum_{k \in \mathbb{N}} k^{-s} 이므로 s>1s>1 면 m→∞m \to \infty 일 때 ζm(s)→ζ(s)\zeta_{m}(s) \to \zeta (s) 다. 우변에서 밑과 지수를 뒤집고 지수 함수에 대해 테일러 전개 ex=∑n=0∞xnn!\displaystyle { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } } 를 하면

ζm(s)+0=∑k=1m(k−s−m1−s1−s)+(11−s−11−s)=1s−1+∑k=1m[k−s−m1−s−11−s]=1s−1+∑k=1m[1kk1−s−e(1−s)log⁡m−11−s]=1s−1+∑k=1m[1ke(1−s)log⁡k−1+∑n=0∞[(1−s)log⁡m]n+1−11−s]=1s−1+∑n=0∞[∑k=1m(1k[(1−s)log⁡k]nn!−11−s[(1−s)log⁡m]n+1(n+1)!)]=1s−1+∑n=0∞[∑k=1m(1k(1−s)n[log⁡k]nn!−(1−s)n[log⁡m]n+1(n+1)!)]=1s−1+∑n=0∞(1−s)nn![∑k=1m([log⁡k]nk−[log⁡m]n+1n+1)] \begin{align*} & \zeta_{m} (s) + 0 \\ =& \sum_{k=1}^{m} \left( k^{-s} - {{ m^{1-s} } \over { 1-s }} \right) + \left( {{ 1 } \over { 1-s }} - {{ 1 } \over { 1-s }} \right) \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ k^{-s} - {{ m^{1-s} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ {{ 1 } \over { k }} k^{1-s} - {{ e^{(1-s) \log m} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ {{ 1 } \over { k }} e^{(1-s) \log k} - {{ 1 + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ (1-s) \log m \right]^{n+1} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ 1 } \over { k }} {{ \left[ (1-s) \log k \right]^{n} } \over { n! }} - {{ 1 } \over { 1-s }} {{ \left[ (1-s) \log m \right]^{n+1} } \over { (n+1)! }} \right) \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ 1 } \over { k }} {{ (1-s)^{n} \left[ \log k \right]^{n} } \over { n! }} - {{ (1-s)^{n} \left[ \log m \right]^{n+1} } \over { (n+1)! }} \right) \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left[ \log k \right]^{n} } \over { k }} - {{ \left[ \log m \right]^{n+1} } \over { n+1 }} \right) \right] \end{align*}

와 같이 깔끔하게 떨어진다. 이제 s>1s>1 면 m→∞m \to \infty 를 취했을때 다음을 얻는다.

1s−1+∑n=0∞γn(1−s)nn!=lim⁡m→∞ζm(s)=ζ(s) {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} = \lim_{m \to \infty} \zeta_{m} (s) = \zeta (s)

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  1. https://math.stackexchange.com/a/3112947/459895 ↩︎