📂복소해석

해석적 연속

정의 ¹

해석적 함수 $f_{1}: \mathscr{R}_{1} \to \mathbb{C}$ 에 대해 $$\mathscr{S} := \mathscr{R}_{1} \cap \mathscr{R}_{2} \ne \emptyset \\ f_{1} (z) = f_{2} (z) \qquad , z \in \mathscr{S}$$ 를 만족하면서 $\mathscr{R}_{2} \subset \mathbb{C}$ 에서 해석적 함수 $f_{2}: \mathscr{R}_{2} \to \mathbb{C}$ 가 존재하면 $f_{2}$ 가 $\mathscr{R}_{2}$ 에서 $f_{1}$ 의 해석적 연속^{analytic Continuation}이라고 부른다.

설명

글은 굉장히 어렵게 적혀있지만 정의를 잘 읽어보면 결국 특정 복소영역 $\mathscr{S}$ 에서 $f_{2}$ 가 $f_{1}$ 을 완벽하게 대신할 수 있는 해석적 함수일 뿐이고, 많은 경우에 $\mathscr{R}_{1} \subset \mathscr{R}_{2}$ 을 생각하기 때문에 해석적 확장이라 불리기도 한다.

실수에서 정의된 함수들이 복소 평면에서 일반화되는 것은 $\mathscr{R}_{1} = \mathbb{R}$ 에서 우리가 원래 알던 함수 $f_{\mathbb{R}}$ 을 잘 일반화해서 $\mathscr{R}_{2} = \mathbb{C}$ 에서 정의된 $f_{\mathbb{C}}$ 을 찾는 것과 같다. 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 예시로는 지수 함수 $\exp ( \cdot )$ 나 감마 함수 $\Gamma ( \cdot )$, 리만 제타 함수 $\zeta (\cdot)$ 등이 있다.