해석적 함수 📂복소해석

해석적 함수

정의

열린 집합 $A \subset \mathbb{C}$ 과 $f: A \to \mathbb{C}$ 가 정의되어있고 $\alpha \in A$ 라고 하자.

$\displaystyle \lim_{z \to \alpha } f(z) = f (\alpha)$ 면 $f$ 가 $\alpha$ 에서 연속이라고 하고 복소영역 $\mathscr{R}$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$ 가 $\mathscr{R}$ 상에서 연속이라고 한다. 특히 $f$ 가 정의역 상에서 연속이면 연속함수라 부른다¹.
$\alpha$ 에서 $f$ 의 미분계수를 다음과 같이 정의하고, $\alpha$ 에서 미분계수가 존재하면 $f$ 가 $\alpha$ 에서 미분가능 하다고 한다². $$ f ' (\alpha) := \lim_{h \to 0} {{ f ( \alpha + h ) - f ( \alpha ) } \over { h }} $$ 여기서 $h \in \mathbb{C}$ 로, 복소 평면 상에서 어떤 방향이라도 관계없어야한다.
$f$ 가 복소영역 $\mathscr{R}$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $f$ 가 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이라고 한다. 특히 $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\mathbb{C}$ 에서 해석적이면 전해석^entire 함수라 한다³.

실수집합 $\mathbb{R}$ 을 정의역으로 갖는 함수와 달리 일반적으로 $\mathbb{C}$ 를 정의역으로 갖는 함수도 기하적인 의미를 똑같이 가지지는 않지만, 형식적인 정의상 복소해석에서의 미분이 미분으로 불리지 못할 이유가 전혀 없다. 물론 복소평면으로써 $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^{2}$ 을 생각한다면 여전히 기울기와 비슷한 의미로 볼 수도 있다.
해석적 함수는 정칙 함수^{regular function}, 홀로모픽 함수^{holomorphic function}이라고도 불린다. 그러나 해석적 연속의 조건으로써 쓰이는 점에서 해석적 함수라는 표현이 가장 메이저하다. “이걸 왜 미분가능 함수가 아니라 굳이 해석적 함수라는 단어를 만들어서 부르는가?” 에 대해서는 복소해석이 발달할 당시의 관점이 들어가 있다고 본다. 언급했듯 복소 평면에서의 미분이라는 것은 형식적인 정의일 뿐, 우리가 실수 공간 $\mathbb{R}$ 에서 다뤘던 것처럼 생각하지는 말라는 의미가 아니었을까 한다.