대각합

정의

$n\times n$ 행렬 $A$가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

$A$의 대각 성분들의 합을 $A$의 대각합^trace 이라 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \text{tr}(A)=\text{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots + a_{nn}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii} $$

설명

다음과 같이 대각합을 함수로 생각할 수도 있다. $M_{n\times n}(\mathbb{R})$을 실수를 성분으로 가지는 $n\times n$행렬들의 집합이라고 하자. 그러면 $\text{Tr}$은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$$ \text{Tr} : M_{n\times n} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad \text{Tr}(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii} $$

성질

$A,B,C$가 $n \times n$ 행렬, $k$가 상수라고 하자.

(a) 상수배의 트레이스와 트레이스의 상수배가 같다.

$$ \text{Tr}(kA)= k\text{Tr}(A) $$

(b) 합의 트레이스와 트레이스의 합이 같다.

$$ \text{Tr}(A+B)=\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B) $$

(a)+(b) 트레이스는 선형이다.

$$ \text{Tr}(kA+B)=k\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B) $$

(c) $AB$와 $BA$의 트레이스는 같다.

$$ \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA) $$

(c’) 순환 성질^{Cyclic Property}: 위 사실로부터 다음의 식이 성립함을 알 수 있다.

$$ \text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(BCA) = \text{Tr}(CAB) $$

(d) $A$와 $A^{T}$의 트레이스가 같다.

$$ \text{Tr}(A) = \text{Tr}(A^{T}) $$