📂수리통계학

수리통계학에서의 확률 유계

정의 ¹

확률 변수의 시퀀스 $\left\{ X_{n} \right\}$ 가 주어져 있다고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 다음을 만족시키는 $N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ 과 상수 $B_{\varepsilon} > 0$ 가 존재하면 $\left\{ X_{n} \right\}$ 가 확률 유계^{bounded in Probability}라고 한다. $$n \ge N_{\varepsilon} \implies P \left[ \left| X_{n} \right| \le B_{\varepsilon} \right] \ge 1 - \varepsilon$$

설명

생각해보면 일상생활에서 실제로 접하는 많은 확률 분포 함수들의 정의역이 무한히 넓다. 표준정규분포 $N(0,1)$ 만 생각해보더라도 그럴 확률은 낮지만, 그럴리는 없지만 샘플링 했을 때 $10^{10}$ 가 나올 확률이 $0$ 은 아닌 것이다. 그러나 위와 같은 정의를 세움으로써 정확히 해석학에서 말하는 유계는 아니라도 그 분포상 확률적인 센스에서 유계를 말할 수는 있는 것이다. 가령 $\left\{ X_{n} \sim N (0,n) \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이라는 확률 변수의 시퀀스가 있다면 $B_{\varepsilon}$ 을 어떻게 잘 잡아도 $n \to \infty$ 를 감당할 수 없기 때문에 확률 유계가 될 수 없다. 세상에 그딴 분포를 어디서 볼 수 있겠냐 싶겠지만, 사실 확률과정론으로만 넘어가도 쉽게 볼 수 있는 위너 프로세스에서 바로 접할 수 있다.

해석학에서 시퀀스가 수렴하면 당연히 유계듯 당연히 다음의 정리가 성립된다.

정리

분포수렴하면 확률유계다.

증명

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엄밀한 정의

• 측도론으로 정의되는 확률 유계