📂힐베르트공간

수반 작용소의 성질

정리^{1 2}

$H,K$를 힐베르트 공간이라고 하자. 유계 선형 작용소 $T : K \to H$ 에 대해 다음을 만족하는 $T^{\ast} : H \to K$ 를 $T$ 의 수반 작용소라고 한다.

$$ \left\langle T \textbf{v} , \textbf{w} \right\rangle_{H} = \left\langle \textbf{v} , T^{\ast} \textbf{w} \right\rangle_{K},\quad \forall \textbf{v} \in K $$

유계선형작용소 $T : K \to H$와 $U : K \to H$에 대해 수반 작용소는 다음의 성질을 갖는다.

(a) $T^{\ast}$ 는 선형이고 유계다.

(b) $\left( T^{\ast} \right)^{\ast} = T$

(c) $\left\| T^{\ast} \right\| = \left\| T \right\|$

(c–1) $\left\| TT^{\ast} \right\| = \left\| T^{\ast}T \right\|= \left\| T \right\|^2$

(d) $\braket{T^{\ast} \mathbf{w}, \mathbf{v}}_{K} = \braket{\mathbf{w}, T \mathbf{v}}_{H}$

(e) $(\alpha T + U)^{\ast} = \overline{\alpha}T^{\ast} + U^{\ast}$

(f) $T^{\ast}T = 0 \iff T = 0$

(g) $(TU)^{\ast} = U^{\ast}T^{\ast}$

증명

(a)

• Part 1. $T^{\ast}$는 선형이다

  정의에 따라

  $$ T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u}) $$

  를 보이면 된다. $T^{\ast}$와 내적의 정의에 따라, $\mathbf{v}\in K$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}(\alpha \mathbf{w}+ \beta \mathbf{u}) \right\rangle_{K} =&\ \left\langle T\mathbf{v},\alpha \mathbf{w} + \beta \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} +\overline{\beta} \left\langle T\mathbf{v}, \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} +\overline{\beta} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \\ =&\ \left\langle \mathbf{v}, \alpha T^{\ast} \mathbf{w}+\beta T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \end{align*} $$

  모든 $\mathbf{v}$에 대해서 $\left\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \right\rangle=\left\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\right\rangle $이면 $\mathbf{u}=\mathbf{w}$이므로,

  $$ T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u}) $$

• Part 2. $T^{\ast}$는 유계이다

  정의에 따라

  $$ \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le C \left\| \mathbf{w} \right\|,\quad \forall \mathbf{w}\in H $$

  를 만족하는 상수 $C$가 존재하는지 보이면 된다. 내적과 놈의 관계에 의해 다음이 성립한다.

  $$ \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| = \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| $$

  그러면 $T^{\ast}$의 정의와 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*} $$

  여기서 $T$는 유계이므로 $\left\| T\mathbf{v} \right\|\le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|$가 성립한다. 따라서,

  $$ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*} $$

  이므로 $T^{\ast}$는 유계이다.

■

(b)

$T^{\ast}$와 내적의 정의에 의해 간단히 보일 수 있다.

$$ \begin{align*} \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} =&\ \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \\ =&\ \overline{\left\langle T^{\ast}\mathbf{w},\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \overline{\left\langle \mathbf{w},(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \left\langle (T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{K} \end{align*} $$

이는 모든 $\mathbf{w}$에 대해서 성립하므로 Part 1. 에서와 같은 논리로

$$ T\mathbf{v}=(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v}\implies T=(T^{\ast})^{\ast} $$

■

(c)

(a) 의 증명으로부터 $\left\| T^{\ast} \right\| \le \left\| T \right\|$를 얻었다. 같은 방법으로 반대 방향의 부등식을 얻을 수 있다.

$$ \begin{align*} \left\| T\mathbf{v} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*} $$

따라서 $\left\| T^{} \right\|\le \left\| T^{\ast} \right\|$가 성립하므로,

$$ \left\| T \right\| = \left\| T^{\ast} \right\| $$

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(c–1)

놈의 정의 $\| \cdot \| := \sqrt{\braket{\cdot, \cdot}}$와 코시-슈바르츠 부등식, 작용소 놈의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$ \| T \mathbf{v} \|^{2} = \braket{T \mathbf{v}, T \mathbf{v}} = \braket{\mathbf{v}, T^{\ast}T \mathbf{v}} \leq \| \mathbf{v} \| \cdot \| T^{\ast}T \mathbf{v} \| \le \| \mathbf{v} \|^{2} \cdot \| T^{\ast}T \| $$

이는 모든 $\mathbf{v}$에 대해서 성립하고, $\| T \| = \sup\limits_{\| \mathbf{v} \| = 1} \| T \mathbf{v} \|$이므로, 다음을 얻는다.

$$ \| T \|^{2} \leq \| T^{\ast}T \| $$

한편, 작용소 놈의 성질과 수반작용소의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \| T^{\ast}T \| \le \| T^{\ast} \| \cdot \| T \| = \| T \|^{2} $$

두 부등식에 의해 $\| T \|^{2} = \| T^{\ast}T \|$가 성립한다. 위 증명의 시작에서 $T$를 $T^{\ast}$로 바꾸면, 최종적으로 다음을 얻는다.

$$ \| T^{\ast}T \| = \| TT^{\ast} \| = \| T \|^{2} $$

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(d)

내적의 켤레대칭성, 수반연산자의 정의를 차례로 이용하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \braket{T^{\ast} \mathbf{w}, \mathbf{v}}_{K} &= \overline{\braket{\mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{w}}_{K}} & \qquad (\text{by conjugate symmetry}) \\ &= \overline{\braket{T \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{H}} & \qquad (\text{by def. of adjoint}) \\ &= \braket{\mathbf{w}, T \mathbf{v}}_{H} & \qquad (\text{by conjugate symmetry}) \end{align*} $$

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(e)

내적의 성질, 수반연산자의 정의를 차례료 사용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$ \begin{align*} \braket{(\alpha T + U)^{\ast} \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{K} &= \alpha \braket{T \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{K} + \braket{U \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{K} \\ &= \alpha \braket{\mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{w}}_{H} + \braket{\mathbf{v}, U^{\ast} \mathbf{w}}_{H} \\ &= \braket{\mathbf{v}, \overline{\alpha}T^{\ast} \mathbf{w}}_{H} + \braket{\mathbf{v}, U^{\ast} \mathbf{w}}_{H} \\ &= \braket{\mathbf{v}, (\overline{\alpha}T^{\ast} + U^{\ast}) \mathbf{w}}_{H} \end{align*} $$

따라서 $(\alpha T + U)^{\ast} = \overline{\alpha}T^{\ast} + U^{\ast}$이다.

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(f)

(c–1) 과 놈의 정의 $\| x \| = 0 \iff x = 0$에 의해 성립한다.

$$ T^{\ast}T = 0 \iff \left\| T^{\ast}T \right\| = 0 \iff \left\| T \right\|^{2} = 0 \iff \| T \| =0 \iff T = 0 $$

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(g)

$$ \begin{align*} \braket{TU \mathbf{v}, \mathbf{w}} &= \braket{T(U \mathbf{v}), \mathbf{w}} \\ &= \braket{(U \mathbf{v}), T^{\ast} \mathbf{w}} \\ &= \braket{\mathbf{v}, U^{\ast} (T^{\ast} \mathbf{w})} \\ &= \braket{\mathbf{v}, (U^{\ast}T^{\ast}) \mathbf{w}} \end{align*} $$

따라서 $(TU)^{\ast} = U^{\ast}T^{\ast}$이다.

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