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내적은 연속 사상임을 증명 📂힐베르트공간

내적은 연속 사상임을 증명

정리1

(X,⟨⋅,⋅⟩)\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)가 내적 공간이고 {xn}\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}, {yn}\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}는 각각 x\mathbf{x}, y\mathbf{y}로 수렴하는 XX의 수열이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩ as n→∞ \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \to \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \text{ as } n \to \infty

극한이 내적 안팎을 드나들 수 있으므로 다음의 따름정리를 얻는다.

따름정리

HH를 힐베르트 공간, {xk}k∈N\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \N}가 HH의 수열, {ck}k∈N∈ℓ2(N)\left\{ c_{k} \right\}_{k\in\mathbb{N}} \in \ell^{2} (\mathbb{N})이고 ∑k=1∞ckxk\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}가 수렴한다고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

⟨x,∑k=1∞ckxk⟩= ∑k=1∞ck‾⟨x,xk⟩⟨∑k=1∞ckxk,x⟩= ∑k=1∞ck⟨xk,x⟩ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x},\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\overline{c_{k}}\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle \end{align*}

설명

lim⁡n→∞⟨xn,yn⟩=⟨lim⁡n→∞xn,lim⁡n→∞yn⟩=⟨x,y⟩ \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{x}_{n}, \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle

위 식이 성립한다는 말이므로, 연속일 동치조건에 의해 내적은 연속 사상이다. 매우 유용한 성질임은 말할 것도 없다.

증명

내적의 정의와 코시-슈바르츠 부등식을 통해 쉽게 보일 수 있다.

∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣= ∣⟨xn,yn⟩−⟨x,yn⟩+⟨,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤∣⟨xn,yn⟩−⟨x,yn⟩∣+∣⟨x,yn⟩−⟨x,y⟩∣= ∣⟨xn−x,yn⟩∣+∣⟨x,yn−y⟩∣ \begin{align*} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle + \left\langle ,\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ \le& \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n}-\mathbf{y}\right\rangle \right| \end{align*}

우변에 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음과 같다.

∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤∥xn−x∥∥yn∥+∥x∥∥yn−y∥ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n} \right\| + \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n}-\mathbf{y} \right\|

이때 놈은 연속 사상이므로 lim⁡n→∞∥xn−x∥=0\lim \limits_{n\to \infty} \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| =0이고 yn\mathbf{y}_{n}에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 위 식의 양변에 극한을 취하면

lim⁡n→∞∣⟨xn,yn⟩−⟨x,y⟩∣≤0  ⟹  lim⁡n→∞⟨xn,yn⟩= ⟨x,y⟩ \begin{align*} && \lim \limits_{n\to \infty} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le& 0 \\ \implies && \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \end{align*}

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  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p173 ↩︎