📂힐베르트공간

내적은 연속 사상임을 증명

정리¹

$\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$가 내적 공간이고 $\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$, $\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}$는 각각 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$로 수렴하는 $X$의 수열이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \to \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \text{ as } n \to \infty $$

극한이 내적 안팎을 드나들 수 있으므로 다음의 따름정리를 얻는다.

따름정리

$H$를 힐베르트 공간, $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \N}$가 $H$의 수열, $\left\{ c_{k} \right\}_{k\in\mathbb{N}} \in \ell^{2} (\mathbb{N})$이고 $\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}$가 수렴한다고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x},\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\overline{c_{k}}\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle \end{align*} $$

설명

$$ \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{x}_{n}, \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle $$

위 식이 성립한다는 말이므로, 연속일 동치조건에 의해 내적은 연속 사상이다. 매우 유용한 성질임은 말할 것도 없다.

증명

내적의 정의와 코시-슈바르츠 부등식을 통해 쉽게 보일 수 있다.

$$ \begin{align*} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle + \left\langle ,\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ \le& \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n}-\mathbf{y}\right\rangle \right| \end{align*} $$

우변에 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음과 같다.

$$ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n} \right\| + \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n}-\mathbf{y} \right\| $$

이때 놈은 연속 사상이므로 $\lim \limits_{n\to \infty} \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| =0$이고 $\mathbf{y}_{n}$에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 위 식의 양변에 극한을 취하면

$$ \begin{align*} && \lim \limits_{n\to \infty} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le& 0 \\ \implies && \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \end{align*} $$

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