부분수열의 극한과 수열의 수렴성
정리
수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 주어졌다고 하자. 두 부분수열 $\left\{ a_{2n} \right\}$과 $\left\{ a_{2n+1} \right\}$에 대해서, $\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n} = L$이고 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n+1} = L$이면 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = L$이다.
증명
수열의 극한의 정의에 의해서 모든 $\epsilon \gt 0$에 대해서, 다음을 만족하는 $N_{1}(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.
$$ 2n \ge N_{1} \implies |a_{2n} - L| < \epsilon $$
마찬가지로 모든 $\epsilon \gt 0$에 대해서, 다음을 만족하는 $N_{2}(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.
$$ 2n+1 \ge N_{2} \implies |a_{2n+1} - L| < \epsilon $$
이제 $N(\epsilon) = \max(N_{1}(\epsilon), N_{2}(\epsilon))$라고 하자. 그러면 모든 $\epsilon$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ n \ge N \implies |a_{n} - L| < \epsilon $$
따라서 수열의 극한의 정의에 의해 다음을 얻는다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = L $$
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