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다변수 함수의 컨볼루션 📂푸리에해석

다변수 함수의 컨볼루션

정의

f,g:Rn→Cf,g:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{C}이고 x,y∈Rn\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}이라고 하자. 그러면 두 다변수 함수의 컨볼루션은 다음과 같다.

f∗g(x)=∫f(y)g(x−y)dy f \ast g(\mathbf{x})=\int f(\mathbf{y})g(\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y}

이때 위의 적분은 다변수 함수의 적분이다.

성질

다변수 함수의 컨볼루션도 일변수 함수의 컨볼루션이 만족하는 좋은 성질들을 그대로 만족한다.

(a) 교환법칙

f∗g=g∗f f \ast g = g \ast f

(b) 분배법칙

f∗(g+h)=f∗g+f∗h f \ast (g+h)=f \ast g + f \ast h

(c) 결합법칙

f∗(g∗h)=(f∗g)∗h f\ast (g\ast h)=(f \ast g)\ast h

(d) 스칼라곱의 결합 법칙

a(f∗g)=(af∗g)=(f∗ag) a(f \ast g)=(af \ast g)=(f\ast ag)

(e) 미분

∂j(f∗g)=(∂jf)∗g=f∗(∂jg)where ∂j=∂∂j \partial_{j}(f \ast g)=(\partial _{j}f) \ast g=f \ast (\partial _{j}g)\quad \text{where } \partial_{j}=\frac{ \partial }{ \partial_{j}}

설명

또한 컨볼루션 수렴 정리, 컨볼루션 놈 수렴 정리도 당연히 만족한다.

g∈L1g\in L^{1}이고 ∫g(x)dx=1\int g(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1이라고 하자. 그리고 gϵ(x)=ϵ−ng(ϵ−1x)g_{\epsilon (\mathbf{x})}=\epsilon^{-n}g(\epsilon^{-1}\mathbf{x})라고 하자.

  • (i) ff가 유계이거나 gg가 어떤 닫힌 구간 밖에서는 00이라고 하자. 그러면 f∗gf \ast g는 잘 정의되고, 만약 ff가 x\mathbf{x}에서 연속이면 다음이 성립한다.

    lim⁡ϵ→0f∗gϵ(x)=f(x) \lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})

    만약 ff가 닫혀있고 유계인 DD 위에서 연속이라면, 위의 수렴은 DD 위에서 균등 수렴이다.

  • (ii) 만약 f∈L2f\in L^{2}이면 다음이 성립한다.

    lim⁡ϵ→0∥f∗gϵ−f∥=0 \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\| =0