📂다변수벡터해석

다변수 함수의 적분

정의¹

$I^{k}$가 k-cell이고, $\mathbf{x} \in I^{k}$라고 하자.

$$\mathbf{x} = (x_{1},\dots,x_{k}),\quad a_{i} \le x_{i} \le b_{i} (i=1,\dots,k)$$

$f: I^{k} \to \mathbb{R}$가 연속이라고 하자. 그러면 적분가능하므로 $f=f_{k}$로 두고, $f_{k-1} : I^{k-1} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자.

$$f_{k-1} (x_{1}, \dots, x_{k-1}) = \int_{a_{k}}^{b_{k}} f_{k}(x_{1}, \dots, x_{k}) dx_{k}$$

그러면 라이프니츠 룰에 의해서 $f_{k-1}$은 $I^{k-1}$에서 연속이다. 이러한 과정을 $k$번 반복하면 상수 $f_{0}\in \mathbb{R}$을 얻게 된다. 이를 $I^{k}$ 위에서의 $f$의 적분이라 하고, 다음과 같이 표기한다.

$$\begin{equation} \int_{I^{k}} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \quad \text{or} \quad \int_{I^{k}}f \label{eq1} \end{equation}$$

설명

위와 같은 적분의 정의는 적분 순서에 의존하는 것 처럼 보인다. 하지만 실제로 $f$의 적분 값은 적분순서에 영향을 받지 않는다.

정리

$\eqref{eq1}$을 $L(f)$라고 하자. 적분순서가 다른 어떤 $f$의 적분을 $L^{\prime}(f)$이라고 하자. 그러면 $I^{k}$에서 연속인 모든 $f$에 대해서 다음이 성립한다.

$$L(f) = L^{\prime}(f)$$

증명

함수 $h$를 다음과 같이 두자.

$$h(\mathbf{x}) = h_{1}(x_{1}) h_{2}(x_{2}) \cdots h_{k}(x_{k}),\quad h_{j}\in \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/support-and-classes-of-continuous-functions/}{C([a_{j},b_{j}])}$$

그러면 다음이 성립한다.

$$L(h) = \prod \limits_{i=1}^{k} \int_{a_{i}}^{b_{i}}h_{i}(x_{i})dx_{i} = L^{\prime}(h)$$

이제 $\mathscr{A}$를 이러한 $h$들의 모든 유한합의 집합이라고 하자.

$$\mathscr{A} = \left\{ \text{all of finite sums of such functions h} \right\}$$

그러면 적분은 선형이므로 다음이 성립한다.

$$L(g) = L^{\prime}(g),\quad \forall g\in \mathscr{A}$$

또한 $\mathscr{A}$는 $I^{k}$ 위에서의 알지브라 가 된다.

알지브라

함수들의 집합 $\mathscr{A}$가 모든 $f,g \in \mathscr{A}$와 상수 $c$에 대해서 다음을 만족하면 알지브라 라고 한다.

• $f + g \in \mathscr{A}$
• $fg \in \mathscr{A}$
• $cf \in \mathscr{A}$

이제 스톤-바이어슈트라스 정리를 적용하면 다음의 결과를 얻는다.

• $V= \prod \limits_{i=1}^{k}(b_{i} - a_{i})$라고 하자. 만약 $f \in C(I^{k})$이고, $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 $g\in \mathscr{A}$가 존재한다. $$\| f - g \| < \dfrac{\varepsilon}{V}$$ 이때 놈은 $\| f \| = \max | f |$와 같이 주어진다.

그러면 다음의 부등식이 성립한다.

$$\begin{align*} |L(f-g)| &\le L(\max|f-g|) = \| f-g \| V < \varepsilon \\ |L^{\prime}(f-g)| &\le L^{\prime}(\max|f-g|) = \| f-g \| V < \varepsilon \end{align*}$$

또한 다음의 식이 성립한다.

$$L(f) - L^{\prime}(f) = L(f) - L(g) + L^{\prime}(g) - L(f) = L(f-g) + L^{\prime}(g-f)$$

따라서 다음의 식을 얻는다.

$$| L(f) - L^{\prime}(f) | = | L(f-g) + L^{\prime}(g-f) | < 2\varepsilon$$

이는 모든 $\varepsilon$에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

$$L(f) = L^{\prime}(f)$$

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