📂미분적분학

적분 판정법

빌드업¹

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} = 1 + \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{3^{2}} + \dfrac{1}{4^{2}} + \cdots$$

위과 같은 급수가 수렴하는지 발산하는지 알고싶은 상황이라고 하자. 이를 위해 $\dfrac{1}{n^{2}} = f(n)$을 만족하는 함수를 생각하자.

$$f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}$$

함수 $f(x)$의 그래프와 함께, 구간의 길이를 $1$로 두고 오른쪽 끝 점에서의 함숫값을 높이로 갖는 직사각형을 그려보자.

그러면 각 직사각형들의 넓이의 합은 우리가 구하고자 하는 급수의 합과 같다.

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \cdots$$

그런데 그림을 보면 알 수 있듯이, $f(x)$가 감소함수이고 $f(x) > 0$이므로 사각형은 항상 $f(x)$의 그래프 아래에 그려진다. 즉 직사각형들의 넓이의 합은 함수 $f(x)$의 적분보다 클 수 없다. 따라서 다음의 부등식을 얻는다.

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \cdots \le 1 + \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{2}} dx$$

즉 적분 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{2}}dx$가 수렴하면, 급수 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}$가 수렴할 것이다. 이로부터 다음과 같은 정리를 얻는다.

정리

함수 $f$가 $x \in [1, \infty)$에서 연속이고, 감소 함수이며, $f(x) > 0$이라고 하자. 그리고 $a_{n} = f(n)$이라고 하자. 그러면 급수 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$이 수렴하는 것은 적분 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)dx$가 수렴하는 것과 동치이다.

$$\int_{1}^{\infty} f(x) dx \text{ is convergent} \iff \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent}$$

$$\int_{1}^{\infty} f(x) dx \text{ is divergent} \iff \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text{ is divergent}$$

일반화

유한한 항의 덧셈은 급수의 수렴성에 영향을 끼치지 않으므로, 자연수 $k$에 대해서 다음과 같이 일반화할 수 있다.

$$\int_{k}^{\infty} f(x) dx \text{ is convergent} \iff \sum\limits_{n=k}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent}$$

$$\int_{k}^{\infty} f(x) dx \text{ is divergent} \iff \sum\limits_{n=k}^{\infty} a_{n} \text{ is divergent}$$

증명

아래의 두 명제만 증명하면, 대우를 취해서 정리가 성립함을 알 수 있다.

1. 적분이 수렴하면, 급수가 수렴한다.
2. 적분이 발산하면, 급수가 발산한다.

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적분이 수렴하면, 급수가 수렴한다

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$과 정리의 조건을 만족하는 함수 $f(x)$가 주어졌다고 하자. 빌드업에서처럼 각 구간에서 오른쪽 끝 점에서의 함숫값을 높이로 갖는 직사각형을 그리면 아래와 같다. ($f$가 감소함수이므로 성립한다.)

즉 다음의 식이 성립한다.

$$a_{2} + a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{n} \le \int_{1}^{n} f(x) dx$$

만약 적분 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) dx$가 수렴하면, $f > 0$이므로,

$$\sum\limits_{i=2}^{n} a_{n} \le \int_{1}^{n} f(x) dx \lt \int_{1}^{n} f(x) dx \lt \infty$$

따라서 급수의 부분합 $s_{n}$에 대해서 다음의 부등식이 성립한다.

$$s_{n} = a_{1} + \sum\limits_{i=2}^{n} a_{n} \lt \int_{1}^{n} f(x) dx \lt \infty$$

이는 $s_{n}$이 유계라는 것을 의미한다. 또한 $s_{n}$이 증가 수열이므로, 단조수열정리에 의해 $s_{n}$은 수렴한다. 즉 급수 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$이 수렴한다.

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적분이 발산하면, 급수가 발산한다

이번에는 왼쪽 끝 점에서의 함숫값을 높이로 갖는 직사각형을 그려보자.

따라서 아래의 식이 성립한다.

$$\int_{1}^{n} f(x) dx \le a_{1} + a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{n} + a_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^{n-1}a_{i}$$

$$\implies \int_{1}^{n} f(x) dx \lt \sum\limits_{i=1}^{n-1}a_{i}$$

양변에 $n \to \infty$인 극한을 취하면,

$$\int_{1}^{\infty} f(x) dx \lt \sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{i}$$

적분 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) dx$이 발산하므로, 급수 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{\infty}a_{i}$이 발산한다.

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