📂초함수론

초함수의 컨볼루션, 실수에서 정의된 함수로서의 초함수

빌드업¹

초함수론의 목적은 나이브하게 정의된 디랙 델타 함수같은 것들을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 것이다. 따라서 함수공간에서 정의된 초함수를 실수공간에서 정의되는 함수로 다룰 수 있게 해야 한다. 먼저 초함수의 미분, 트렌슬레이션 등이 어떻게 정의됐는지 생각해보자.

초함수는 정의역이 함수공간이라 미분 등을 기존의 개념대로 정의할 수 없기 때문에 해당 작용을 테스트 함수에 대신 하는 것으로 생각했다. 이와 비슷한 방법으으로 초함수와 테스트 함수의 컨볼루션을 정의하려고 한다. 우선 국소 적분가능한 함수 $u$와 이에 대응되는 정칙 초함수 $T_{u}$가 주어졌다고 하자. $u$와 테스트 함수 $\phi$의 컨볼루션은 다음과 같다.

$$u \ast \phi (\mathbf{x}) =\int u(\mathbf{y})\phi (\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y},\quad \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$$

$T_{u}$와 $\phi$를 컨볼루션할 수 없으니 $T_{u}$에 대응되는 $u$와 $\phi$의 컨볼루션을 $T_{u}$와 $\phi$의 컨볼루션으로 정의하자.

$$T_{u} \ast \phi (\mathbf{x}):=\int u(\mathbf{y})\phi (\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y}=u\ast \phi (\mathbf{x})$$

그런데 임의의 함수 $f$에 대해서 $\tilde{f}(y)=f(-y)$, $f_{x}(y)=f(y-x)$라고 하면 다음이 성립한다.

$$\tilde{f}_{x}(y)=\tilde{f}(y-x)=f(x-y)$$

따라서 $T_{u} \ast \phi$를 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$T_{u}\ast \phi (\mathbf{x}):=\int u(\mathbf{y})\tilde{\phi}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y})d\mathbf{y}=T_{u}(\tilde{\phi}_{\mathbf{x}})$$

따라서 최종적으로 초함수와 테스트 함수와의 컨볼루션을 다음과 같이 정의한다.

정의

$T$를 초함수, $\phi$를 테스트 함수라고 하자. $T$와 $\phi$의 컨볼루션을 다음과 같이 정의한다.

$$T \ast \phi (\mathbf{x}) :=T(\tilde{\phi}_{\mathbf{x}})=T(\phi (\mathbf{x}-\cdot))$$

설명

정의역이 함수 공간인 초함수 $T$를 위와 같은 정의로 인해 실수 공간 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 것처럼 생각할 수 있다. 따라서 고전적인 의미에서의 연속, 미분 등을 말할 수 있게 된다. 실제로 다음의 정리가 성립한다.

정리

$T$가 초함수, $\phi$가 테스트 함수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$T\ast \phi \in C^{\infty} \quad \text{and} \quad \partial^{\alpha}(T\ast \phi)=T\ast \partial^{\alpha}\phi$$

증명

증명의 간소화를 위해 1차원이라고 가정하자. 어떤 테스트 함수 $\phi$에 대해서 아래의 식이 성립하는 $r>0$가 존재한다.

$$\mathrm{supp}\phi \subset [-r,r]$$

또한 어떤 함수 $f :\mathbb{R}\to \mathbb{C}$가 $\left| x \right| \le C$, $\left| h \right| \le 1$에 대해서 $f(y)=\phi (x+h-y)$와 같이 정의된 함수라고 할 때 다음의 식이 성립한다.

$$\mathrm{supp}f \subset [-R,R],\quad R=r+C+1$$

이제 $\psi$와 $\Psi$를 다음과 같이 정의하자.

$$\begin{align*} \psi_{x,h}(y) =&\ \phi (x+h-y)-\phi (x-y) \\ \Psi_{x,h}(y) =&\ \frac{\phi (x+h-y)-\phi (x-y) }{h}-\phi^{\prime}(x-y) \end{align*}$$

그러면 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} \mathrm{supp} \psi_{x,h} &\subset [-R,R] \\ \mathrm{supp} \Psi_{x,h}&\subset[-R,R] \end{align*}$$

또한 $\phi$가 테스트 함수 이므로 $\psi_{x,h}$, $\Psi_{x,h}$는 미분 가능하고 $\psi_{x,h}$, $\Psi_{x,h}$와 도함수들 모두 $h \to 0$일 때 $0$으로 균등수렴한다. 그러면 초함수의 연속 조건에 의해서 아래의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} \lim \limits_{h\to 0} \big[ \left( T \ast \phi \right)(x+h)- (T\ast \phi)(x) \big] =&\ \lim \limits_{h\to 0} \big[ T(\tilde{\phi}_{x+h}) -T(\tilde{\phi}_{x}) \big] \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T(\tilde{\phi}_{x+h}-\tilde{\phi}_{x}) \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T(\psi_{x,h}) \\ =&\ T(0) \\ =&\ 0 \end{align*}$$

따라서 $T\ast \phi$는 연속이다. 또한 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} \lim \limits_{h\to 0} \left[ \frac{ \left( T \ast \phi \right)(x+h)- (T\ast \phi)(x) }{h}- (T\ast \phi^{\prime})(x)\right] =&\ \lim \limits_{h\to 0} \left[ \frac{ T(\tilde{\phi}_{x+h}) -T(\tilde{\phi}_{x}) }{h}- T(\tilde{\phi^{\prime}}_{x})\right] \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T\left( \frac{ \tilde{\phi}_{x+h} - \tilde{\phi}_{x} }{h}- \tilde{\phi^{\prime}}_{x}\right) \\ =&\ \lim \limits_{h \to 0}T \left( \Psi_{x,h} \right) \\ =&\ T(0) \\ =&\ 0 \end{align*}$$

따라서 $T\ast \phi$는 미분가능하고 도함수는 $T\ast \phi^{\prime}$이다. 같은 방식으로 $T\ast \phi$의 $n$계 도함수는 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\left( T \ast \phi \right)^{(n)}=T\ast \phi^{(n)}\quad \forall n\in \mathbb{N}$$

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