제곱수의 합 구하기
공식
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}$$
유도
한 차수 더 높은 $k^3$와 $(k-1)^3$ 의 차를 생각해보자.
$$ 1^3 - 0^3 = 3 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 \\ 2^3 - 1^3 = 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 \\ 3^3 - 2^3 = 3 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 \\ \vdots \\ n^3 - (n-1)^3 = 3n^2 - 3n + 1 $$
양변을 각각 모두 더하면
$$ n^3 - 0^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2} - 3 \sum_{k=1}^{n} { k} + n $$
우리는 자연수의 합이 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}}$ 임을 알고 있다.
위의 식을 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2}$ 에 대해서 정리하면 공식을 얻는다.
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설명
자연수의 합 공식과 마찬가지로 입시를 준비하면서 굉장히 많이 쓰는 공식 중 하나다. 물론 고등학교를 졸업하고나면 자연수의 합만큼 많이 쓰이진 않지만 증명방법이 상당히 재미있다.
일반화
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2 $$
제곱이 아니라 더 높은 차수도 같은 증명법으로 구할 수 있다. 가령 세제곱수의 합은 위와 같다.
$n$승수의 합 공식에서 최대차항의 계수만 생각해놓고 보면 재미있는 성질이 있다.
- $1$승, 즉 자연수의 합은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}}$ 이고 최고차항의 계수는 $1/2$ 다.
- $2$승이면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}$ 이므로 $2/6 = 1/3$이다.
- $3$승이면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2$ 이므로 $1/4$ 다.
$4$승에 대한 공식도 같은 방법으로 구할 수 있을 것이고, 아마 최고차항의 계수는 $1/5$가 아닐까? 결론부터 말하자면 그렇다. 구분구적법을 통해 정적분과 연관지어서 생각해보면 그 이유를 쉽게 알 수 있을 것이다. $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( k \over n \right) ^{t} = \int_{0}^{1} x^{t-1} dx = {1 \over t} $$ 자연수 $t$ 에 대해 위 식이 성립함을 보이는 것은 어렵지 않다. 실로 수학의 묘미라고 할 수 있겠다.