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제곱수의 합 구하기 📂보조정리

제곱수의 합 구하기

공식

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}

유도

한 차수 더 높은 k3k^3와 (k−1)3(k-1)^3 의 차를 생각해보자.

13−03=3⋅12−3⋅1+123−13=3⋅22−3⋅2+133−23=3⋅32−3⋅3+1⋮n3−(n−1)3=3n2−3n+1 1^3 - 0^3 = 3 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 \\ 2^3 - 1^3 = 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 \\ 3^3 - 2^3 = 3 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 \\ \vdots \\ n^3 - (n-1)^3 = 3n^2 - 3n + 1

양변을 각각 모두 더하면

n3−03=3∑k=1nk2−3∑k=1nk+n n^3 - 0^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2} - 3 \sum_{k=1}^{n} { k} + n

우리는 자연수의 합이 ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}} 임을 알고 있다.

위의 식을 ∑k=1nk2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} 에 대해서 정리하면 공식을 얻는다.

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설명

자연수의 합 공식과 마찬가지로 입시를 준비하면서 굉장히 많이 쓰는 공식 중 하나다. 물론 고등학교를 졸업하고나면 자연수의 합만큼 많이 쓰이진 않지만 증명방법이 상당히 재미있다.

일반화

∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2

제곱이 아니라 더 높은 차수도 같은 증명법으로 구할 수 있다. 가령 세제곱수의 합은 위와 같다.

nn승수의 합 공식에서 최대차항의 계수만 생각해놓고 보면 재미있는 성질이 있다.

  • 11승, 즉 자연수의 합은 ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}} 이고 최고차항의 계수는 1/21/2 다.
  • 22승이면 ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}} 이므로 2/6=1/32/6 = 1/3이다.
  • 33승이면 ∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2 이므로 1/41/4 다.

44승에 대한 공식도 같은 방법으로 구할 수 있을 것이고, 아마 최고차항의 계수는 1/51/5가 아닐까? 결론부터 말하자면 그렇다. 구분구적법을 통해 정적분과 연관지어서 생각해보면 그 이유를 쉽게 알 수 있을 것이다. lim⁡n→∞∑k=1n(kn)t=∫01xt−1dx=1t \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( k \over n \right) ^{t} = \int_{0}^{1} x^{t-1} dx = {1 \over t} 자연수 tt 에 대해 위 식이 성립함을 보이는 것은 어렵지 않다. 실로 수학의 묘미라고 할 수 있겠다.