📂푸리에해석

컨볼루션 놈 수렴 정리

정리

함수 $g \in L^{1}$가 유계이고 $\int_{\mathbb{R}}g(y)dy=1$을 만족한다고 하자. 만약 $f\in L^{2}$이고, $f$와 $g$의 컨볼루션 $f \ast g$가 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해서 잘 정의되면 $f \ast g_{\epsilon}$은 $f$로 놈 수렴한다.

$$\begin{equation} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon} -f \right\| = 0 \label{eq1} \end{equation}$$

이때 $g_{\epsilon}(y)=\frac{1}{\epsilon}g \left( \frac{y}{\epsilon} \right)$이다.

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‘컨볼루션 놈 수렴 정리’라는 이름은 위 정리에 딱히 붙여진 이름이 없어서 임의로 붙인 것이다. 컨볼루션 수렴 정리는 $f \ast g_{\epsilon}(x)$가 $f(x)$로 포인트 와이즈하게 수렴한다는 것을 보인 정리이고, 본 정리는 $f \ast g_{\epsilon}$이라는 함수가 자체가 $f$로 수렴함을 보이는 정리이다.

증명

$\eqref{eq1}$을 보이기 위해 수식을 다음과 같이 정리하자.

$$\begin{align*} f \ast g_{\epsilon}(x)-f(x) &=\int f(x-y)g_{\epsilon}(y)dy-f(x)\int g_{\epsilon}(y)dy \\ &=\int \big[ f(x-y)-f(x)\big]g_{\epsilon}(y)dy \\ &=\int \big[ f(x-y)-f(x) \big] \frac{1}{\epsilon}g\left(\frac{y}{\epsilon} \right)dy \end{align*}$$

여기서 $y=\epsilon z$로 치환하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} f \ast g_{\epsilon}(x)-f(x) &=\int \big[ f(x-y)-f(x) \big] \frac{1}{\epsilon}g\left(\frac{y}{\epsilon} \right)dy \\ &=\int \big[ f(x-\epsilon z)-f(x) \big] g\left(z\right)dz \\ &=\int \big[ T_{\epsilon z}f(x)-f(x) \big] g\left(z\right)dz \end{align*}$$

적분에 대한 민코프스키 부등식

$1\le p < \infty$에 대해서, $f\in L^{p}$, $g \in L^{1}$이면 아래의 식이 성립한다.

$$\left\| \int f(\cdot,y)g(y)dy \right\|_{p} \le \int \left\| f(\cdot,y) \right\|_{p} |g(y)|dy$$

그러면 민코프스키 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\|_{2} &= \left\| \int \big[ T_{\epsilon z}f-f \big] g\left(z\right)dz \right\|_{2} \\ &\le \int \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2} \left| g(z) \right|dz \end{align*}$$

$g\in L^{1}$이고, $\left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2}\le 2\left\| f \right\|_{2}$이므로 $\left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\|_{2}$는 유계이다.

$1\le p <\infty$에 대해서, $f\in L^{p}$이고 $z\in \mathbb{R}^{n}$이면 다음의 식이 성립한다.

$$\lim \limits_{y\to 0} \left\| T_{y+z}f-T_{z}f \right\|_{p}=0$$

이때 $T$ 트랜슬레이션이다.

또한 위의 사실에 의해서 다음이 성립한다.

$$\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2}=0$$

따라서 지배 수렴 정리의 조건을 만족하므로 다음의 식을 얻으며 증명이 끝난다.

$$\begin{align*} \lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\|_{2} &\le \lim \limits_{\epsilon \to 0} \int \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2} \left| g(z) \right|dz \\ &\le \int\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| T_{\epsilon z }f-f \right\|_{2} \left| g(z) \right|dz \\ &= \int 0 \cdot \left| g(z) \right|dz \\ &=0 \end{align*}$$

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