📂해석개론

곡선의 도함수가 연속이면 길이를 잴 수 있는 곡선이다

정리¹

만약 $\gamma ^{\prime}$이 구간 $[a,b]$에서 연속이면, $\gamma$는 길이를 잴 수 있는 곡선이고 다음의 식이 성립한다.

$$ \Lambda (\gamma) = \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime}(t) \right| dt $$

증명

• Part 1.

$P=\left\{ a=x_{0},\dots,x_{n}=b \right\}$를 구간 $[a,b]$의 임의의 분할이라고 하자. $a\le x_{i-1}<x_{i}\le b$라고 하면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| &= \left| \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\gamma^{\prime} (t)dt \right| \\ &\le \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \left| \gamma^{\prime} (t) \right|dt \end{align*} $$

첫번째 줄은 미분적분학의 기본정리2에 의해서 성립하고, 두번째 줄은 절댓값의 적분이 적분의 절댓값보다 크므로 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \Lambda (P,\gamma) \le \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime} (t) \right| dt $$

이는 구간 $[a,b]$ 내의 모든 구간에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

$$ \Lambda (\gamma) \le \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime} (t) \right| dt $$

• Part 2.

임의의 양수 $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 컴팩트 거리공간에서 연속 함수는 균등 연속이므로 $\gamma^{\prime}$은 균등 연속이다. 따라서 $\varepsilon$에 대해서 아래의 식을 만족시키는 양수 $\delta >0$가 존재한다.

$$ \left| s-t \right| < \delta \implies \left| \gamma^{\prime} (s) -\gamma^{\prime} (t) \right| < \varepsilon,\quad s,t\in[a,b] $$

이제 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}<\delta$가 성립하는 구간 $[a,b]$의 분할 $P=\left\{ x_{0},\dots,x_{n} \right\}$를 선택했다고 하자. 그러면 $x_{i-1}\le t \le x_{i}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} &&\left| \gamma^{\prime} (t) \right| -\left| \gamma^{\prime} (x_{i}) \right| &\le \left| \gamma^{\prime} (t)-\gamma^{\prime}(x_{i}) \right| <\varepsilon \\ \implies && \left| \gamma^{\prime} (t) \right| &\le \left| \gamma^{\prime}(x_{i}) \right|+\varepsilon \end{align*} $$

따라서 양변을 적분하면 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left| \gamma^{\prime} (t) \right|dt &\le \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left| \gamma^{\prime} (x_{i}) \right|dt +\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \varepsilon dt \\ &= \left| \gamma^{\prime}(x_{i}) \right|\Delta x_{i} + \varepsilon\Delta x_{i} \\ &= \left|\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \gamma^{\prime}(x_{i})dt \right|+\varepsilon\Delta x_{i} \\ &= \left|\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\big( \gamma^{\prime}(t) +\gamma^{\prime} (x_{i})-\gamma^{\prime}(t) \big)dt\right| +\varepsilon\Delta x_{i} \\ &\le \color{green}{\left|\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \gamma^{\prime}(t)dt\right|}+ \color{blue}{\left| \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \gamma^{\prime} (x_{i})-\gamma^{\prime}(t)dt\right|} +\varepsilon\Delta x_{i} \\ &\le \color{green}{\left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right|} +\color{blue}{\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\varepsilon dt}+ \varepsilon\Delta x_{i} \\ &= \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| + 2\varepsilon\Delta x_{i} \end{align*} $$

두번째, 세번째 줄은 $\gamma^{\prime}(x_{i})$가 상수이기 때문에 성립한다. 다섯번째 줄은 삼각부등식에 의해 성립한다. 초록색 부분은 미분적분학의 기본정리2에 의해 성립한다. 파란색 부분은 균등연속이라는 조건에 의해 성립한다. $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 다음이 성립한다.

$$ \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left| \gamma^{\prime} (t) \right|dt \le \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| $$

각각의 $\Delta x_{i}$들에 대해서 위 부등식을 더하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime} (t) \right| dt \le \sum \limits _{i=1} ^{n} \left|\gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right|=\Lambda (P,\gamma)\le \Lambda (\gamma) $$

따라서 Part 1., Part 2. 에 의해 다음이 성립한다.

$$ \Lambda (\gamma) = \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime}(t) \right| dt $$

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