해석학의 여러가지 급수판정법 총정리
개요
몇 가지 급수판정법들을 별도의 증명 없이 소개한다. 증명은 각 판정법의 문서를 참고하자.
이 포스트에서는 다음과 같은 노테이션을 공유한다:
- $\mathbb{N}$ 은 자연수를 모두 모은 집합이다.
- $\mathbb{R}$ 은 모든 실수를 모은 집합이고, $\overline{\mathbb{R}}$ 은 실수 집합에 $\pm \infty$ 를 포함하는 확장된 실수 집합이다.
- $\left\{ a_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}, \left\{ b_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ 은 실수열이다.
- $\exists \lim_{k \to \infty} x_{k}$ 은 $x_{k}$ 의 극한이 $\mathbb{R}$ 에 존재한다, 즉 수렴한다는 의미다. 반대로 $\not\exists \lim_{k \to \infty} x_{k}$ 는 $x_{k}$ 의 극한이 $\mathbb{R}$ 에 존재하지 않는다, 즉 발산한다는 의미다.
- 충분히 큰 $k$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} { {a_k} \over {b_k} } = 1$ 일 때 $a_k \approx b_k$ 이라고 나타낸다.
- $b_k \downarrow 0$ 은 $b_{k}$ 가 감소수열이며 $k \to \infty$ 일 때 $0$으로 수렴하되 $0$보다 크거나 같은 값을 취함을 의미한다.
실수열 1
발산 판정법
$\lim _{ k \to \infty }{ { a }_{ k }} \ne 0$ 이면 $\sum _{ k =1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}$ 은 발산한다: $$ \lim _{ k \to \infty }{ { a }_{ k }} \ne 0 \implies \not\exists \sum _{ k =1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} $$
- 발산 판정법divergence test은 고등학교 때 접할 수 있는 유일한 판정법이다. 쉬운만큼 수렴하는 것 자체를 판정할 수는 없는 것이 아쉽지만, 발산하는 것을 보일 땐 가장 쉽고 빠르다.
코시 판정법
$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 이 수렴하는 것은 $\lim_{n \to \infty} \sum _{ k=n }^{ n+m }{ { a }_{ k }}=0$ 과 동치다: $$ \exists \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \iff \left( \forall \varepsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} : m \ge n \ge N \implies \left| \sum_{k=n}^{m} a_{k} \right| < \varepsilon \right) $$
- 코시 판정법cauchy Criterion이라는 이름이 붙은 이유는 정리의 증명에 실수 공간 $\mathbb{R}$에서는 수렴하는 수열이 코시 수열이라는 것과 동치라는 걸 이용하기 때문이다.
비음수열 2
모든 항들이 $0$ 보다 크거나 같은, $a_{k} \ge 0$ 인 수열들을 다룬다.
적분 판정법
감소함수 $f: [1,\infty) \to \mathbb{R}$ 이 항상 $0$보다 크다고 하자. $\sum _{ k =1 }^{ \infty }{ { f }( k )}$ 이 수렴하는 것은 $\int_{1}^{\infty} f(x) dx < \infty$ 과 동치다: $$ \exists \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \iff \int_{1}^{\infty} f(x) dx < \infty $$
- 적분 판정법integral test은 $f(n+1) \le \int_{n}^{n+1} f(x) dx \le f(n)$ 임을 이용해서 증명한다. 드물게도 증명 과정이 재미있는 판정법이기도 하다.
$p$-급수 판정법
$\sum _{ k=1 }^{ \infty } k^{-p}$ 이 수렴하는 것은 $p>1$ 과 동치다: $$ \exists \sum_{k=1}^{\infty} {{ 1 } \over { k^{p} }} \iff p > 1 $$
- $p$-급수 판정법$p$-Series test은 쉽게 말해 조화급수에서 조금이라도 승수를 올리면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다는 것이다. 적분 판정법에 기하급수를 넣어서 유도되는 따름정리지만 워낙 단순하고 유용해서 적분 판정법보다도 많이 쓰인다.
비교 판정법
충분히 큰 $k$ 에 대해 $0 \le a_k \le b_k$ 이라고 하자. $\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { b }_{ k }}$ 이 수렴하면 $\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}$ 도 수렴한다: $$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} < \infty \implies & \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} < \infty \\ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} = \infty \implies & \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} = \infty \end{align*} $$
- 비교 판정법comparison test는 비교라는 이름이 붙은 판정법답게 이미 수렴하는 걸 알고 있는 다른 급수와 비교해서 수렴하는 것을 보일 때 쓴다. 대우명제를 사용하면 마찬가지의 방법으로 급수가 발산하는지를 확인할 수 있다.
극한 비교 판정법
충분히 큰 $k$ 에 대해 $a_k \ge 0$ 이고 $b_k>0$ 이라고 하자. $L := \lim_{k \to \infty} { {a_k} \over {b_k} } \in \overline{\mathbb{R}}$ 은 어떤 확장된 실수다. (1) $0<L<\infty$이면 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 과 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. (2) $L=0$ 이고 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 이 수렴하면 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$도 수렴한다. (3) $L=\infty$ 이고 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }}$ 이 발산하면 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$도 발산한다: $$ \begin{align*} 0 < L < \infty \implies & \left( \exists \sum_{k=1}^{n} a_{k} \iff \exists \sum_{k=1}^{n} b_{k} \right) \\ L = 0 \implies & \left( \exists \sum_{k=1}^{n} b_{k} \implies \exists \sum_{k=1}^{n} a_{k} \right) \\ L = \infty \implies & \left( \not\exists \sum_{k=1}^{n} b_{k} \implies \not\exists \sum_{k=1}^{n} a_{k} \right) \end{align*} $$
- 극한 비교 판정법limit Comparison test은 비교 판정법과 마찬가지로 원래 급수가 수렴하는지 보이기 어려워서 다른 수렴하는 급수와 비교하는 것이다. 언뜻 조건이 까다로워 보이지만 실제로는 조금만 건드리면 만족시키기 쉬워서 수렴성만 보일 땐 아주 유용하다.
절대수렴 3
무한급수 $S = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$ 에 대해, $\sum_{k=1}^{\infty} \left| a_{k} \right|$ 가 수렴하면 $S$ 를 절대 수렴converge Absolutely한다고 정의한다. 이에 따라 절대수렴하지는 않지만 $S$ 자체는 수렴하는 급수를 조건부 수렴converge Conditionally한다고 말하기도 한다.
근 판정법
$\left\{ \left| a_{k} \right|^{1/k} \right\}$ 의 리미트 슈프리멈 $r = \limsup_{k \to \infty} {{|a_k|} ^ {1 / k}}$ 에 대해 $r<1$ 이면 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}$ 은 절대수렴, $r>1$ 이면 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}$ 은 발산한다: $$ \begin{align*} r < 1 \implies & \exists \sum_{k=1}^{\infty} \left| a_{k} \right| \\ r > 1 \implies & \not\exists \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \end{align*} $$
비 판정법
$a_{k} \ne 0$ 이고, $r = \lim_{k \to \infty} { {|a_{k+1}|} \over {|a_{k}|} } \in \overline{\mathbb{R}}$ 는 확장된 실수라 하자. $r<1$이면 $\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}$은 절대수렴, $r>1$이면 $\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}$은 발산한다: $$ \begin{align*} r < 1 \implies & \exists \sum_{k=1}^{\infty} \left| a_{k} \right| \\ r > 1 \implies & \not\exists \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \end{align*} $$
- 근 판정법root test과 비 판정법ratio test은 조건이 조금 세지만 한 방에 절대수렴임을 보여주기 때문에 많이 쓰인다. 한편 $r=1$ 인 경우엔 다음과 같이 디리클레 판정법dirichlet’s test이나 교대급수 판정법alternating Series test 등이 쓰일 수 있다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법에서 바로 유도될 수 있고, 정확한 값이 아니라 수렴성만 판별하고 싶다면 예시로써 교대조화급수를 생각해볼 수 있다.
디리클레 판정법
부분합 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ 이 유계고 $k \to \infty$ 일 때 $b_k \downarrow 0$ 이면 $\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k } {b}_{k}}$ 은 수렴한다: $$ \left| s_n \right| < \infty , b_k \downarrow 0 \implies \exists \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k } {b}_{k}} $$
교대급수 판정법
$k \to \infty$ 일 때 $b_k \downarrow 0$ 이면 $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1)^{k} {b}_{k}}$ 은 수렴한다. $$ b_k \downarrow 0 \implies \exists \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ (-1)^{-k} {b}_{k}} $$