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테일러 급수와 매클로린 급수 📂미분적분학

테일러 급수와 매클로린 급수

빌드업1

주어진 함수 ff가 멱급수로 표현된다고 하자.

f(x)=c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+c3(x−a)3+⋯∣x−a∣<R(1) f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2}(x - a)^{2} + c_{3}(x - a)^{3} + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{1}

여기서 함수 ff의 멱급수 표현을 구체적으로 찾는 것은, 각 항의 계수 cnc_{n}을 구하는 것과 같다. 우선 양 변에 x=ax = a를 대입하면, c0c_{0}를 구할 수 있다.

f(a)=c0+c1(a−a)+c2(a−a)2+c3(a−a)3+⋯=c0 f(a) = c_{0} + c_{1}(a - a) + c_{2}(a - a)^{2} + c_{3}(a - a)^{3} + \cdots = c_{0}

(1)(1)을 미분하면 다음을 얻는다.

f′(x)=c1+2c2(x−a)+3c3(x−a)2+⋯∣x−a∣<R(2) f^{\prime}(x) = c_{1} + 2c_{2}(x - a) + 3c_{3}(x - a)^{2} + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{2}

양 변에 x=ax = a를 대입하면, c1c_{1}을 구할 수 있다.

f′(a)=c1 f^{\prime}(a) = c_{1}

다시 (2)(2)를 미분하고 x=ax = a를 대입하면,

f′′(x)=2c2+3⋅2c3(x−a)+⋯∣x−a∣<R(3) f^{\prime\prime}(x) = 2c_{2} + 3 \cdot 2c_{3}(x - a) + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{3}

f′′(a)=2c2 f^{\prime\prime}(a) = 2c_{2}

한 번 더 반복하면,

f′′′(x)=3⋅2c3+4⋅3⋅2c4(x−a)+⋯∣x−a∣<R f^{\prime\prime\prime}(x) = 3 \cdot 2c_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2c_{4}(x - a) + \cdots \qquad |x - a| \lt R

f′′′(a)=3⋅2c3 f^{\prime\prime\prime}(a) = 3 \cdot 2c_{3}

이런 식으로 계속하면 cnc_{n}이 다음과 같이 표현됨을 알 수 있다.

f(n)(a)=n!⋅cn  ⟹  cn=f(n)(a)n! f^{(n)}(a) = n! \cdot c_{n} \implies c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}

따라서 (1)(1)은 다음과 같이 표현된다.

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n f(x) = f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n}

이때 우변의 급수를 ff의 테일러 급수라 정의한다.

정의

무한히 미분가능한 함수 ff의 aa에서의 테일러 급수Taylor series of ff at aa를 다음과 같이 정의한다.

∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n} = f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots

설명

특히 a=0a = 0일 때의 급수를 매크로린 급수Maclaurin series라 한다.

ff가 멱급수로 표현된다면, ff와 ff의 테일러 급수는 같다. 그러나 ff의 테일러 급수가 항상 ff와 같은 것은 아니다. 특정한 조건을 만족하면 ff와 ff의 테일러 급수가 같다는 것이 증명되어 있다.

ff와 ff의 테일러 급수가 다른 예1

다음과 같은 함수 ff가 주어져있다.

f(x)={e−1/x2x≠00x=0 f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^{2}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

급수의 계수를 찾기위해 f′(0)f^{\prime}(0)을 구해보자.

lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0e−1/h2−0h=lim⁡h→01h⋅e−1/h2 \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^{2}} - 0}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot e^{-1/h^{2}}

여기서 수식을 정리하고 로피탈 정리를 사용하면,

lim⁡h→01h⋅e−1/h2=lim⁡h→01/he1/h2=lim⁡h→0−1/h2−2e1/h2/h3=lim⁡h→0h2e1/h2=0 \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot e^{-1/h^{2}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1/h}{e^{1/h^{2}}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1/h^{2}}{-2e^{1/h^{2}}/h^{3}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h}{2e^{1/h^{2}}} = 0

같은 방식으로 n∈Nn \in \mathbb{N}에 대해서 f(n)=0f^{(n)} = 0임을 보일 수 있다. 따라서 ff의 매클로린 급수는 다음과 같다.

∑n=0∞f(n)(0)n!xn=∑n=0∞0n!xn=0 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{0}{n!}x^{n} = 0

하지만 분명하게도 x≠0x \ne 0에 대해서 f(x)≠0f(x) \ne 0이므로 ff와 ff의 매클로린 급수는 같지 않다는 것을 알 수 있다.

  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p795-799 ↩︎ ↩︎