실수의 조밀성 증명
정리
두 실수 $a<b$ 에 대해 $a<r<b$ 를 만족하는 $r \in \mathbb{R}$ 이 존재한다
설명
실수상에선 그 어떤 구간을 생각하든 그 사이엔 반드시 또 다른 실수가 존재한다. 아무리 작게 쪼개더라도 그곳엔 또 쪼갤 수 있는 점이 있다는 말이다. 당연해보이지만 이는 당연하지 않을 뿐만 아니라 몹시 추상적인 성질이라는 것도 명심하자. 예로써 물리학에서 다루는 물질과 에너지조차도 작게 작게 쪼개다보면 그 한계가 있다.
증명
Strategy: 증명은 유리수와 무리수에 대해서 각각 나눠서 한다. 두 실수 사이에 유리수가 존재하면서 무리수도 존재한다면 증명은 끝난다. 일반성을 잃지 않고without loss of generality라는 표현들은 증명에서 등장한 양수들이 언제든지 실수들의 차로써 나타날 수 있기 때문에 굳이 $0$ 이하의 수를 생각하지 않기 위해 언급된다. 예로써 두 음수 $c < d < 0$ 에서 증명이 시작되더라도 등호만 성립하지 않는다면 $d - c > 0$ 와 같이 양수를 만들 수 있다.
필요한 핵심 전제들은 아래와 같다.
체 공리:
- (A1) 덧셈에 대한 폐쇄성: $a+b \in \mathbb{R}$
- (A5) 덧셈에 대한 역원: $a + (-a) = (-a) + a = 0$ 을 만족하는 $(-a)$가 존재
- (M1) 곱셈에 대한 폐쇄성: $a\cdot b \in \mathbb{R}$
- (M5) 곱셈에 대한 역원: $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$ 을 만족하는 ${a^{-1}}$가 존재
- (D) 분배법칙: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
순서공리:
- 가산성: $a<b$이고 $c\in \mathbb{R}$ 이면 $a+ c< b + c$
- 승산성: $a<b$이고 $c>0$ 이면 $ac< bc$, 혹은 $c<0$ 이면 $ac> bc$
아르키메데스의 원리: 양수 $a$ 와 실수 $b$ 에 대해, $an>b$ 를 만족하는 자연수 $n$ 이 존재한다.
Part 1. 유리수의 조밀성 1
$a<q<b$ 를 만족하는 $q \in \mathbb{Q}$ 가 항상 존재함을 보이자. 우선 일반성을 잃지 않고, $0 < a < b$ 를 만족하는 양수 $(b-a) > 0$ 와 실수 $1 \in \mathbb{R}$ 을 생각해보면 아르키메데스의 원리의 부등식을 만족하는 자연수들의 집합 $\left\{ n \in \mathbb{N} : (b-a) n > 1 \right\}$ 이 존재하며, 덧셈에 대한 역원의 존재성, 폐쇄성과 분배법칙, 가산성에 따라 $$ bn-an > 1 \implies an + 1 < bn \implies an < an + 1 < bn $$ 임을 알 수 있다. $an$ 과 $bn$ 는 그 차가 $1$ 보다 크기 때문에 그 사이에는 적어도 하나의 정수가 존재하며, 그것을 $m$ 이라 두면 $$ an < m < bn $$ 이이다. 각 변에서 $n$ 의 곱셈에 대한 역원 $n^{-1}$ 을 곱하면 다음을 얻는다. $$ a < {{ m } \over { n }} < b $$ 여기서 $\displaystyle q := {{ m } \over { n }}$ 라 두면 $q$ 는 다름아닌 ‘자연수의 비’인 유리수고, 다음의 부등식을 얻는다. $$ a < q < b $$
Part 2. 무리수의 조밀성
$a<\xi<b$ 를 만족하는 $\xi \in \mathbb{Q^{c}}$ 가 항상 존재함을 보이자. 일반성을 잃지 않고, $0 < a < b$ 를 만족하는 실수와 무리수 $c>0$ 를 생각해보면 승산성에 의해 $a<b$ 면 $ac<bc$ 다. 실수는 곱셈에 대해 닫혀있으므로 $ac$ 와 $bc$ 역시 실수고, 유리수의 조밀성에 의해 $ac<q<bc$ 를 만족하는 유리수 $q \ne 0$ 가 존재한다. $ac<q<bc$ 의 각 변을 $c$ 의 곱셈에 대한 역원 $\displaystyle {1 \over c}$ 로 곱하면 다음과 같다.
$$ a<{q \over c}<b $$
여기서 $\displaystyle \xi := {q \over c}$ 라 두면 $\xi$ 는 $0$이 아닌 유리수와 무리수의 곱이므로 무리수고, 다음의 부등식을 얻는다.
$$ a<\xi<b $$
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