삼각함수의 특수각
공식
몇몇의 특수한 각도에 대한 삼각함수의 함숫값은 다음과 같다.
| 라디안(각도) | $0$ | $\frac{\pi}{12} (15^{\circ})$ | $\frac{\pi}{6} (30^{\circ})$ | $\frac{\pi}{4} (45^{\circ})$ | $\frac{\pi}{3} (60^{\circ})$ | $\frac{\pi}{2} (90^{\circ})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $ \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $2 - \sqrt{3}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | 정의되지않음 |
증명
밑변과 높이가 $1$인 직각이등변삼각형을 생각해보자. 피타고라스 정리에 따라 빗변의 길이는 $\sqrt{2}$이다.
따라서,
$$ \cos 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \sin 45^{\circ} = \sqrt{1 - \cos^{2} 45^{\circ}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
한 변의 길이가 $1$인 정삼각형을 생각해보자. 윗각을 반으로 나누어보면, 한 각이 $60^{\circ}$인 직각삼각형이 만들어진다.
이때 빗변의 길이는 $1$이고 밑변의 길이는 $\dfrac{1}{2}$이므로,
$$ \cos 60^{\circ} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{2} $$
$$ \sin 60^{\circ} = \sqrt{1 - \cos^{2} 60^{\circ}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ $$
삼각함수의 덧셈정리를 쓰면,
$$ \begin{align*} \cos 15^{\circ} = \cos (60^{\circ} - 45^{\circ}) &= \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4} \\ &= \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \\ \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \sin 15^{\circ} = \sin (60^{\circ} - 45^{\circ}) &= \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ \end{align*} $$
삼각함수의 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다.
$$ \cos (90^{\circ} - x) = \cos 90^{\circ} \cos x + \sin 90^{\circ} \sin x = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x \\ \sin (90^{\circ} - x) = \sin 90^{\circ} \cos x - \cos 90^{\circ} \sin x = 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x = \cos x $$
따라서,
$$ \cos 30^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin 30^{\circ} = \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} $$
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