컨볼루션의 일반적인 정의
정의
적분 변환 $J$와 두 함수 $f$, $g$가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 함수 $f \ast g$를 $J$에 대한 $f$와 $g$의 컨볼루션convolution, 합성곱이라 정의 한다.
$$ J(f \ast g)=(Jf)(Jg) $$
설명
정의에 따라, 곱의 적분변환인 컨볼루션은 적분변환의 곱으로 나눠질 수 있다. 즉 하나의 적분으로 묶여있던 두 함수를 두 개의 적분으로 떼어낼 수 있다는 의미이다. 적분으로 표현되는 forward operator의 역변환을 구할 때 유용하게 쓰이는 테크닉이다.
적분변환의 곱과 곱의 적분변환의 꼴을 보통 구체적인 말 없이 컨볼루션이라 함은 푸리에 변환의 컨볼루션을 말한다.
푸리에 변환
$$ (f \ast g)(x) =\int _{-\infty} ^{\infty}f(y)g(x-y)dy $$
라플라스 변환
$$ (f \ast g)(x) = \int_{0}^{x}f(x-y)g(y)dy $$
멜린 변환
$$ ( f\times g)(x)=\int _{0} ^{\infty} f(y)g \left( \frac{x}{y} \right)\frac{dy}{y} $$