적분 변환이란
정의
함수공간에서 함수공간으로의 맵 $J$가 아래와 같은 적분으로 정의되면 $J$를 적분변환integral transform이라 한다.
$$ (Jf) (x) = \int_{a}^{b} K(x,t)f(t)dt $$
$$ J : f(\cdot) \mapsto \int_{a}^{b} K(\cdot,t)f(t)dt $$
이때 $K$를 $J$의 커널kernel이라 한다. $Jf$에서 $f$로의 맵이 존재하면 이를 $J^{-1}$로 표기하고 $J$의 역변환inverse transform이라 한다.
설명
적분 영역이 꼭 유계여야할 필요는 없다. $a=-\infty$이거나 $b=\infty$이거나 둘 다여도 무관하다. 적분 변환은 위 정의에 따라 아무렇게나 만들어도 상관 없지만 제대로된 의미를 지니려면 주어진 문제를 $f$로 푸는 것보다 $Jf$로 푸는 것이 더 쉽거나, 역변환이 존재하여 $Jf$와 $f$를 자유자제로 바뀔 수 있어야 한다. 적분 변환의 예로 다음과 같은 것들이 있다.
푸리에 변환 $\mathcal{F}$:
$$ \mathcal{F}f(\xi)=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{i \xi x}dx,\quad K(x,\xi)=e^{i\xi x} $$
라플라스 변환 $\mathcal{L}$:
$$ \mathcal{L}f(s)=\int _{0} ^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\quad K(t,s)=e^{-st} $$
멜린 변환 $\mathcal{M}$:
$$ \mathcal{M}f(s)=\int_{0}^{\infty} f(x)x^{s-1}dx,\quad K(x,s)=x^{s-1} $$
라돈 변환 $\mathcal{R}$:
$$ \mathcal{R}f(s,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta+t\cos\theta)dt $$