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내적 공간에서 코시-슈바르츠 부등식

정리¹

$(H, \langle \cdot ,\cdot \rangle)$가 내적 공간이라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립하고 이를 코시-슈바르츠 부등식^{Cauchy-Schwarz inequality} 이라 한다.

$$ \left| \langle x,y \rangle \right| \le \langle x,x \rangle^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2},\quad \forall x,y \in H $$

설명

내적으로부터 놈을 정의할 수 있으므로 다음의 식으로 표현할 수도 있다.

$$ \left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \le \left\| x \right\| \left\| y \right\|,\quad \forall x,y\in H $$

증명

• Case 1. $x=0$ 혹은 $y=0$

  일반성을 잃지 않고 $x=0$이라고 하자. 그러면 내적의 정의에 의해

  $$ \left| \langle 0,y \rangle \right| = \left| \langle 0x,y \rangle \right| =0\left| \langle x,y\rangle \right|=0 $$

  이므로 성립한다.

• Case 2. $x\ne0$, $y\ne0$이고 $\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$

  내적의 정의에 의해

  $$ \begin{align*} 0 \le& \left\langle x-\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y, x-\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y \right\rangle \\ =&\ \langle x,x \rangle - \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} \langle x,y \rangle -\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} \langle y,x \rangle +\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle^{2}}\langle y,y \rangle \end{align*} $$

  이때 $\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$이므로 $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x \rangle}=\langle y,x \rangle$이다. 따라서

  $$ \begin{align*} 0 \le& \langle x,x \rangle - 2\frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} \langle x,y \rangle +\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle^{2}}\langle y,y \rangle \\ =&\ \langle x,x \rangle - 2\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle} +\frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle} \\ =&\ \langle x,x \rangle - \frac{\langle x,y \rangle^{2}}{\langle y,y \rangle} \end{align*} $$

  이때 $\langle y,y \rangle >0$이므로 양변에 곱해주면

  $$ \begin{align*} && 0 \le& \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle - \langle x,y \rangle ^{2} \\ \implies && \langle x,y \rangle ^{2} \le& \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle \\ \implies && \left| \langle x,y \rangle \right| \le& \langle x,x \rangle ^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2} \end{align*} $$

• Case 3. $x\ne0$, $y\ne 0$이고 $\langle x,y\rangle \in \mathbb{C}$

  $\left| \lambda \right| =1$이고 $\lambda \langle x,y \rangle\in [0,\infty)$를 만족하는 $\lambda \in \mathbb{C}$를 하나 선택하자. 그러면

  $$ \left| \langle x,y \rangle \right| =\left| \lambda \right| \left| \langle x,y \rangle \right|=\left| \lambda \langle x,y \rangle \right|= \lambda\langle x,y \rangle =\langle \lambda x,y \rangle $$

  가 성립한다. 따라서 Case 2에 의해

  $$ \begin{align*} \left| \langle x,y \rangle \right| =&\ \langle \lambda x,y \rangle \\ \le& \langle \lambda x, \lambda x \rangle ^{1/2} \langle y,y \rangle ^{1/2} \\ =&\ \langle x,x\rangle^{1/2}\langle y,y\rangle ^{1/2} \end{align*} $$

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