📂힐베르트공간

내적 공간이란

정의¹

$X$를 벡터 공간이라고 하자. $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X$ 와 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$(혹은 $\mathbb{R}$)에 대해서 다음의 조건을 만족하는 함수

$$ \langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{C} $$

를 내적^{inner product}이라고 정의하고 $\left( X, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$를 내적공간^{inner product space}이라 한다.

• 선형성: $$\langle \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} ,\mathbf{z} \rangle =\alpha \langle \mathbf{x},\mathbf{z}\rangle + \beta \langle \mathbf{y},\mathbf{z}\rangle$$
• 켤레대칭성: $$\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \overline{ \langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle}$$
• 정부호: $$\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle = 0\iff \mathbf{x}=0$$

설명

선형성과 켤레대칭성으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} \langle \mathbf{x},\alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z} \rangle =&\ \overline{\langle \alpha \mathbf{y}+\beta \mathbf{z} ,\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha \langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle +\beta \langle \mathbf{z},\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha}\overline{\langle \mathbf{y},\mathbf{x} \rangle}+\overline{\beta} \overline{\langle \mathbf{z},\mathbf{x} \rangle} \\ =&\ \overline{\alpha}\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle + \overline{\beta} \langle \mathbf{x},\mathbf{z} \rangle \end{align*} $$

이는 두번째 원소에 대해서 안티리니어하다는 것이다. 물리학, 공학 등에서는 내적이 위와는 살짝 다르게 정의될 수도 있다. 예를 들어 첫번째 성분에 대해서 안티리니어하고, 두번째 성분에 대해서는 리니어하게 정의되기도 한다. 한편 내적 공간에서는 아래와 같이 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.

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$(X, \langle \cdot ,\cdot \rangle)$가 내적 공간이라고 하자. 그러면 아래의 부등식이 성립하고 이를 코시-슈바르츠 부등식이라 한다.

$$ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| \le \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle^{1/2} \langle \mathbf{y},\mathbf{y} \rangle ^{1/2},\quad \forall \mathbf{x},\mathbf{y} \in X $$

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또한 내적으로부터 아래와 같이 놈을 정의할 수 있다.

$$ \left\| \mathbf{x} \right\| := \sqrt{\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle},\quad \mathbf{x}\in X $$

이렇게 내적으로부터 자연스럽게 정의된 놈을 associated norm이라 부르기도 한다. 또한 놈이 주어지면 놈으로부터 거리를 정의할 수 있으므로 거리공간의 성질인 완비성에 대해서 얘기할 수 있다. 완비 내적 공간을 힐베르트 공간이라 한다.

성질

코시-슈바르츠 부등식: 임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$에 대해서,

$$ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| \le \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| $$

평행사변형 법칙: 임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$에 대해서,

$$ \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} = 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\| ^{2}+ \left\| \mathbf{y} \right\| ^{2} \right) $$

The polarization identity in a complex vector space: 복소내적공간 $X$와 임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$에 대해서,

$$ \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \frac{1}{4} \Big( \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^{2} + i \left( \left\| \mathbf{x} + iy \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x} - iy \right\|^{2} \right) \Big) $$

The polarization identity in a real vector space: 실내적공간 $X$와 임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in X$에 대해서,

$$ \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \frac{1}{4} \left( \left\| \mathbf{x}+\mathbf{y} \right\|^{2} - \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y} \right\| ^{2} \right) $$

Norm versus inner product: 임의의 $\mathbf{x} \in X$에 대해서,

$$ \left\| \mathbf{x} \right\| =\sup \left\{ \left| \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle \right| : \mathbf{y}\in X, \left\| \mathbf{y} \right\| =1 \right\} $$