내적 공간, 놈 공간, 거리공간의 관계
📂힐베르트공간 내적 공간, 놈 공간, 거리공간의 관계 설명 내적 공간 ( X , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) \left( X, \langle\cdot, \cdot\rangle \right) ( X , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) 놈 을 정의할 수 있다.
∥ x ∥ : = ⟨ x , x ⟩ , x ∈ X
\begin{equation}
\left\| x \right\| := \sqrt{ \langle x, x\rangle},\quad x\in X
\end{equation}
∥ x ∥ := ⟨ x , x ⟩ , x ∈ X
따라서 내적 공간이면 놈 공간 이다. 계속해서 이렇게 정의된 놈으로부터 거리 를 정의할 수 있다.
d ( x , y ) : = ∥ x − y ∥ = ⟨ x − y , x − y ⟩ , x , y ∈ X
\begin{equation}
d(x,y):=\left\| x -y \right\| =\sqrt{ \langle x-y, x-y \rangle},\quad x,y\in X
\end{equation}
d ( x , y ) := ∥ x − y ∥ = ⟨ x − y , x − y ⟩ , x , y ∈ X
따라서 내적 공간이면 놈 공간이고 거리공간 이다. 몇몇의 교재에서 거리공간이 주어졌다고 해놓고 놈이나 내적의 개념을 쓰기도 하는데 바로 이러한 이유 때문에 그런 것이다. 거리공간이라고 말했지만은 사실상 내적 공간이 주어졌다고 치는 것이다.
반대로 ‘내적 공간 X X X X X X X X X 완비 라는 것은 거리공간에서 정의되는 개념인데 놈 공간이나 내적 공간이 완비라고 말할 수 있는 이유는 내적과 놈으로부터 거리를 정의할 수 있기 때문이다. 증명은 정의를 이용하면 어렵지 않게 보일 수 있으므로 ( 1 ) (1) ( 1 )
정리 내적 공간이면 놈 공간이다.
증명 내적 공간 X X X x , y ∈ X x,y\in X x , y ∈ X c ∈ C c\in \mathbb{C} c ∈ C ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 \langle x,x \rangle \ge0 ⟨ x , x ⟩ ≥ 0
∥ x ∥ ≥ 0
\left\| x \right\| \ge 0
∥ x ∥ ≥ 0
가 성립한다. 또한 내적의 정의에 의해 ⟨ x , x ⟩ ⟺ x = 0 \langle x,x\rangle \iff x=0 ⟨ x , x ⟩ ⟺ x = 0
∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0
\left\| x \right\| =0 \iff x=0
∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0
가 성립한다. 마찬가지로 내적의 정의에 의해
∥ c x ∥ = ⟨ c x , c x ⟩ = ∣ c ∣ 2 ⟨ x , x ⟩ = ∣ c ∣ ⟨ x , x ⟩ = ∣ c ∣ ∥ x ∥
\begin{align*}
\left\| cx \right\| =&\ \sqrt{ \langle cx,cx\rangle }
\\ =&\ \sqrt{ \left| c \right| ^{2} \langle x,x \rangle}
\\ =&\ \left| c \right| \sqrt{\langle x,x \rangle}
\\ =&\ \left| c \right| \left\| x \right\|
\end{align*}
∥ c x ∥ = = = = ⟨ c x , c x ⟩ ∣ c ∣ 2 ⟨ x , x ⟩ ∣ c ∣ ⟨ x , x ⟩ ∣ c ∣ ∥ x ∥
가 성립한다. 마지막 조건 역시 내적의 정의에 의해
∥ x + y ∥ 2 = ⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x + y ⟩ + ⟨ y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ = ∥ x ∥ 2 + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ x , y ⟩ ‾ + ∥ y ∥ 2 ≤ ∥ x ∥ 2 + 2 ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ + ∥ y ∥ 2 ≤ ∥ x ∥ 2 + 2 ⟨ x , x ⟩ 1 / 2 ⟨ y , y ⟩ 1 / 2 + ∥ y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + 2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ + ∥ y ∥ 2 = ( ∥ x ∥ + ∥ y ∥ ) 2
\begin{align*}
\left\| x + y \right\|^{2} =&\ \langle x+y,x+y \rangle
\\ =&\ \langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y \rangle
\\ =&\ \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle
\\ =&\ \left\| x \right\|^{2}+\langle x,y \rangle +\overline{ \langle x,y \rangle}+ \left\| y \right\| ^{2}
\\ \le& \left\| x \right\| ^{2} + 2 \left| \langle x,y \rangle \right| + \left\| y \right\| ^{2}
\\ \le& \left\| x \right\|^{2} +2\langle x,x \rangle ^{1/2}\langle y,y \rangle^{1/2} + \left\| y \right\|^{2}
\\ =&\ \left\| x \right\|^{2}+2\left\| x \right\|\left\| y \right\| +\left\| y \right\|^{2}
\\ =&\ \left( \left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right)^{2}
\end{align*}
∥ x + y ∥ 2 = = = = ≤ ≤ = = ⟨ x + y , x + y ⟩ ⟨ x , x + y ⟩ + ⟨ y , x + y ⟩ ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ ∥ x ∥ 2 + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ∥ y ∥ 2 ∥ x ∥ 2 + 2 ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ + ∥ y ∥ 2 ∥ x ∥ 2 + 2 ⟨ x , x ⟩ 1/2 ⟨ y , y ⟩ 1/2 + ∥ y ∥ 2 ∥ x ∥ 2 + 2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ + ∥ y ∥ 2 ( ∥ x ∥ + ∥ y ∥ ) 2
다섯번째 줄은 임의의 복소수 c ∈ C c\in \mathbb{C} c ∈ C c + c ‾ ∈ R c+\overline{c} \in \mathbb{R} c + c ∈ R 코시-슈바르츠 부등식 에 의해서 성립한다. 따라서
∥ x ∥ : = ⟨ x , x ⟩
\left\| x \right\| := \sqrt{\langle x,x \rangle}
∥ x ∥ := ⟨ x , x ⟩
와 같이 정의한 ∥ ⋅ ∥ \left\| \cdot \right\| ∥ ⋅ ∥
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