내적 공간, 놈 공간, 거리공간의 관계
설명
내적 공간 $\left( X, \langle\cdot, \cdot\rangle \right)$가 주어졌다고 하자. 그러면 내적으로부터 아래와 같이 자연스럽게 놈을 정의할 수 있다.
$$ \begin{equation} \left\| x \right\| := \sqrt{ \langle x, x\rangle},\quad x\in X \end{equation} $$
따라서 내적 공간이면 놈 공간이다. 계속해서 이렇게 정의된 놈으로부터 거리를 정의할 수 있다.
$$ \begin{equation} d(x,y):=\left\| x -y \right\| =\sqrt{ \langle x-y, x-y \rangle},\quad x,y\in X \end{equation} $$
따라서 내적 공간이면 놈 공간이고 거리공간이다. 몇몇의 교재에서 거리공간이 주어졌다고 해놓고 놈이나 내적의 개념을 쓰기도 하는데 바로 이러한 이유 때문에 그런 것이다. 거리공간이라고 말했지만은 사실상 내적 공간이 주어졌다고 치는 것이다.
반대로 ‘내적 공간 $X$가 주어졌다고 하자’라는 말은 ‘거리공간 $X$가 주어졌다고 하자’, ‘놈 공간 $X$가 주어졌다고 하자’와 같은 말이다. 또한 완비라는 것은 거리공간에서 정의되는 개념인데 놈 공간이나 내적 공간이 완비라고 말할 수 있는 이유는 내적과 놈으로부터 거리를 정의할 수 있기 때문이다. 증명은 정의를 이용하면 어렵지 않게 보일 수 있으므로 $(1)$에 대해서만 소개하겠다.
정리
내적 공간이면 놈 공간이다.
증명
내적 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그리고 $x,y\in X$이고 $c\in \mathbb{C}$라고 하자. 그러면 내적의 정의에 의해 $\langle x,x \rangle \ge0$이므로
$$ \left\| x \right\| \ge 0 $$
가 성립한다. 또한 내적의 정의에 의해 $\langle x,x\rangle \iff x=0$이므로
$$ \left\| x \right\| =0 \iff x=0 $$
가 성립한다. 마찬가지로 내적의 정의에 의해
$$ \begin{align*} \left\| cx \right\| =&\ \sqrt{ \langle cx,cx\rangle } \\ =&\ \sqrt{ \left| c \right| ^{2} \langle x,x \rangle} \\ =&\ \left| c \right| \sqrt{\langle x,x \rangle} \\ =&\ \left| c \right| \left\| x \right\| \end{align*} $$
가 성립한다. 마지막 조건 역시 내적의 정의에 의해
$$ \begin{align*} \left\| x + y \right\|^{2} =&\ \langle x+y,x+y \rangle \\ =&\ \langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y \rangle \\ =&\ \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle \\ =&\ \left\| x \right\|^{2}+\langle x,y \rangle +\overline{ \langle x,y \rangle}+ \left\| y \right\| ^{2} \\ \le& \left\| x \right\| ^{2} + 2 \left| \langle x,y \rangle \right| + \left\| y \right\| ^{2} \\ \le& \left\| x \right\|^{2} +2\langle x,x \rangle ^{1/2}\langle y,y \rangle^{1/2} + \left\| y \right\|^{2} \\ =&\ \left\| x \right\|^{2}+2\left\| x \right\|\left\| y \right\| +\left\| y \right\|^{2} \\ =&\ \left( \left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right)^{2} \end{align*} $$
다섯번째 줄은 임의의 복소수 $c\in \mathbb{C}$에 대해서 $c+\overline{c} \in \mathbb{R}$이므로 성립한다. 여섯번째 줄은 코시-슈바르츠 부등식에 의해서 성립한다. 따라서
$$ \left\| x \right\| := \sqrt{\langle x,x \rangle} $$
와 같이 정의한 $\left\| \cdot \right\|$는 놈의 정의를 만족한다.
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