📂해석개론

함수열의 균등수렴과 미분가능성

정리¹

구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수들의 수열 $\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is differentiable on } [a, b] \right\}$이 점 $x_{0} \in [a, b]$에서 점별 수렴한다고 하자. 만약 $\left\{ f_{n}^{\prime} \right\}$이 구간 $[a, b]$에서 균등수렴하면, $\left\{ f_{n} \right\}$도 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f$로 균등수렴하고 다음이 성립한다.

$$f^{\prime} (x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (x) \quad a \le x \le b$$

설명²

정리의 결과를 한마디로 표현하면 "극한의 도함수와 도함수의 극한이 같다"이다. 즉, 극한 기호와 미분 기호의 순서를 바꾸는 것이 가능하다.

$$\dfrac{d}{dx} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{d}{dx} f_{n} (x) \quad a \le x \le b$$

미분과 관련하여 함수열의 균등수렴을 생각하는 이유는, 첫째로 점별수렴은 미분가능성을 보존하지 않기 때문이다(반례1). 둘째로 $f_{n} \to f$이고 $f$가 미분가능하다 할지라도, $f_{n}^{\prime} \to f^{\prime}$이 성립하지 않을 수 있기 때문이다.(반례2).

반례1

미분가능한 함수들의 함수열 $f_{n}$이 $f$로 점별수렴하는 것이, $f$가 미분가능이라는 것을 보장하지 않는다.

증명

함수 $f_{n}(x) = x^{n}$은 $[0, 1]$에서 미분가능하다. 그리고 함수 $f$를 다음과 같이 정의하자.

$$f (x) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le x \lt 1 \\ 1 & \text{if } x = 1 \end{cases}$$

그러면 모든 점 $x \in [0, 1]$에서 $f_{n}(x)$는 $f(x)$로 점별 수렴한다. 하지만 명백하게 $f$는 $x = 1$에서 미분 불가능이다.

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반례2

구간 $[0, 1]$에서 $f_{n} \to f$이지만,

$$\lim\limits_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (x) \ne \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) \right)^{\prime} \quad \text{ for } x=1$$

가 성립하는 어떤 미분가능한 함수 $f_{n}$과 $f$가 존재한다.

증명

$f_{n}(x) = \dfrac{x^{n}}{n}$ 그리고 $f(x) = 0$이라 하자. 그러면 구간 $[0, 1]$에서

$$x^{n} \to 0 \text{ and } n \to \infty \quad \text{ as } n \to \infty$$

이므로 $f_{n} \to f$이다. 그러나 $f_{n}^{\prime} (x) = x^{n-1}$이므로 $f_{n}^{\prime} (1) = 1$이다. 따라서

$$1 = \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}^{\prime} (1) \ne \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(1) \right)^{\prime} = 0$$

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증명

가정: $f_{n}(x_{0}) \to f(x_{0})$ 그리고 $f^{\prime}_{n}$이 균등수렴한다.

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작은 양수 $\epsilon \gt 0$이 주어졌다고 하자. 그러면 수렴하는 수열과 코시 수열은 동치이므로, 가정에 의해 다음이 성립하는 양수 $N$을 선택할 수 있다.

$$n, m \ge N \implies \begin{array}{l} |f_{n} (x_{0}) - f_{m} (x_{0})| \lt \dfrac{\epsilon}{2} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ (1) \\[0.5em] \text{and} \\[0.5em] |f_{n}^{\prime} (t) - f_{m}^{\prime} (t)| \lt \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \quad (a \le t \le b) \qquad (2) \end{array}$$

그리고 함수 $f_{n} - f_{m}$에 대해서 평균값 정리를 적용하면 $(2)$와 함께 다음을 얻는다. $n ,m \ge N$이고 $x, t \in [a, b]$에 대해서,

$$\begin{aligned} \left| \left( f_{n}(x) - f_{m}(x) \right) - \left( f_{n}(t) - f_{m}(t) \right) \right| &= |x - t| \left| f_{n}^{\prime} (s) - f_{m}^{\prime} (s) \right| \quad (t \le s \le x) \nonumber \\ &\lt |x - t|\dfrac{\epsilon}{2(b - a)} = \dfrac{\epsilon}{2} \dfrac{|x - t|}{(b - a)} \nonumber \\ &\lt \dfrac{\epsilon}{2} \end{aligned} \tag{3}$$

그리고 $(1)$과 $(3)$으로부터 다음의 부등식이 성립한다. $n, m \ge N$이고 $x \in [a, b]$에 대해서,

$$\begin{align*} \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| &= \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) + \big[f_{n}(x_{0}) - f_{n}(x_{0})\big] + \big[f_{m}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \big] \right| \\ &\lt \left| f_{n}(x) - f_{m}(x) - (f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0})) \right| + \left| f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \right|\\ &\lt \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}$$

이때 이러한 $N$은 $x$와 무관하게 선택되었으므로, $f_{n}$은 구간 $[0, 1]$에서 균등수렴한다. 극한을 $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x)$ $(a \le x \le b)$라고 하자.

이제 $x \in [a, b]$를 하나 고정하고, 함수 $\phi_{n}$과 $\phi$를 다음과 같이 정의하자.

$$\phi_{n}(t) = \dfrac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x},\qquad \phi(t) = \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} \quad (x \ne t \in [a,b])$$

그러면 다음이 성립한다.

$$\lim\limits_{t \to x} \phi_{n}(t) = \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x} = f_{n}^{\prime} (x)$$

또한 $(3)$의 첫번째 부등식으로부터 다음을 얻는다.

$$\left| \phi_{n}(t) - \phi_{m}(t) \right| \lt \dfrac{\epsilon}{2(b - a)} \qquad (n, m \ge N)$$

그러므로 $\phi_{n}$은 $t \ne x$에서 균등수렴한다. $f_{n} \to f$이므로,

$$\phi_{n}(t) \rightrightarrows \phi(t) \quad \text{ or } \quad \lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}(t) = \phi (t) \quad (a \le t \le b, t \ne x)$$

균등수렴과 연속성

만약 거리공간 $E$ 위에서 $f_{n} ⇉ f$이면, $E$의 집적점 $x$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\lim\limits_{t \to x}\lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(t) = \lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{t \to x} f_{n}(t)$$

$\phi_{n} ⇉ \phi \text{ on } [a,b]\setminus \left\{ x \right\}$이므로, 위의 정리에 $\phi_{n}$을 적용하면 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} && \lim\limits_{t \to x}\lim\limits_{n \to \infty} \phi_{n}(t) &= \lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{t \to x} \phi_{n}(t) \\ \implies && \lim\limits_{t \to x} \phi(t) &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \\ \implies && \lim\limits_{t \to x} \dfrac{f(t) - f(x)}{t - x} &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \\ \implies && f^{\prime}(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} f^{\prime}_{n}(x) \end{align*}$$

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