📂측도론

정칙 측도

정의: 측도의 정칙성 ¹

$\mu$ 가 가측 공간 $(X, \Sigma)$ 에서 정의된 측도라고 하자.

1. $\mu$ 에 대해 가측 집합 $A \in \Sigma$ 가 다음을 만족하면 내적 정칙^{inner Regular}이라 한다. $$ \mu (A) = \sup \left\{ \mu (F) : F \subset A, F \in \Sigma \text{ is compact} \right\} $$
2. $\mu$ 에 대해 가측 집합 $A \in \Sigma$ 가 다음을 만족하면 외적 정칙^{outer Regular}이라 한다. $$ \mu (A) = \inf \left\{ \mu (G) : G \supset A, G \in \Sigma \text{ is open} \right\} $$
3. 모든 가측 집합 $A \in \Sigma$ 가 $\mu$ 에 대해 내적 정칙이면 $\mu$ 를 내적 정칙 측도라 한다.
4. 모든 가측 집합 $A \in \Sigma$ 가 $\mu$ 에 대해 외적 정칙이면 $\mu$ 를 외적 정칙 측도라 한다.
5. $\mu$ 가 내적 정칙이면서 외적 정칙이면 정칙 측도라 한다.

설명

정의에 컴팩트가 포함된걸로 추측할 수 있듯, 정칙 측도는 보렐 측도라는 조건과 더불어 ‘하여튼 좋은’ 측도로써 언급된다. 측도론의 심연까지 들여다보지 않는다면 정칙성이라는 것 자체가 무슨 역할을 한다기보단 이론 전개에 있어서 등장할 온갖 변태적인 반례를 막아주는 의미가 크다.