logo

정칙 측도 📂측도론

정칙 측도

정의: 측도의 정칙성 1

μ\mu가측 공간 (X,Σ)(X, \Sigma) 에서 정의된 측도라고 하자.

  1. μ\mu 에 대해 가측 집합 AΣA \in \Sigma 가 다음을 만족하면 내적 정칙inner Regular이라 한다. μ(A)=sup{μ(F):FA,FΣ is compact} \mu (A) = \sup \left\{ \mu (F) : F \subset A, F \in \Sigma \text{ is compact} \right\}
  2. μ\mu 에 대해 가측 집합 AΣA \in \Sigma 가 다음을 만족하면 외적 정칙outer Regular이라 한다. μ(A)=inf{μ(G):GA,GΣ is open} \mu (A) = \inf \left\{ \mu (G) : G \supset A, G \in \Sigma \text{ is open} \right\}
  3. 모든 가측 집합 AΣA \in \Sigmaμ\mu 에 대해 내적 정칙이면 μ\mu내적 정칙 측도라 한다.
  4. 모든 가측 집합 AΣA \in \Sigmaμ\mu 에 대해 외적 정칙이면 μ\mu외적 정칙 측도라 한다.
  5. μ\mu 가 내적 정칙이면서 외적 정칙이면 정칙 측도라 한다.

설명

정의에 컴팩트가 포함된걸로 추측할 수 있듯, 정칙 측도는 보렐 측도라는 조건과 더불어 ‘하여튼 좋은’ 측도로써 언급된다. 측도론의 심연까지 들여다보지 않는다면 정칙성이라는 것 자체가 무슨 역할을 한다기보단 이론 전개에 있어서 등장할 온갖 변태적인 반례를 막아주는 의미가 크다.