해석학에서 엄밀하게 정의되는 좌극한과 우극한
정의
- 거리공간 $X$에서 정의된 함수 $f :X \to \mathbb{R}$이 주어졌다고 하자. 만약 $f$가 $x\in X$에서 연속이 아니면, $f$는 $x$에서 불연속하다 고 하거나 $x$에서 불연속성을 갖는다 고 한다.
$f: (a,b) \to \mathbb{R}$이라고 하자.
임의의 점 $x$에 대해서 $a \le x <b$라고 하자. $\left\{ t_{n} \right\}$을 $x$로 수렴하는 $(x,b)$의 점들의 수열이라고 하자. 만약 모든 $\left\{ t_{n} \right\}$에 대해서 $$ \lim \limits_{n \to \infty}f(t_{n})=q $$ 가 성립하면 $f(x+)=q$와 같이 표기하고 $q$를 $x$에서 $f$의 우극한right-hand-limit이라 한다.
임의의 점 $x$에 대해서 $a< x \le b$라고 하자. $\left\{ t_{n} \right\}$을 $x$로 수렴하는 $(a,x)$의 점들의 수열이라고 하자. 만약 모든 $\left\{ t_{n} \right\}$에 대해서 $$ \lim \limits_{n\to\infty} f(t_{n})=q $$ 가 성립하면 $f(x-)=q$와 같이 표기하고 $q$를 $x$에서 $f$의 좌극한left-hand-limit 이라 한다.
설명
불연속성에 대해 자세히 말하기 위해 위와 같이 좌극한, 우극한이라는 개념을 정의한다. 주의해야할 점은 좌극한, 우극한은 불연속점에서만 정의되는 것이 아니라 임의의 점에 대해서 정의될 수 있다는 것이다.
해석학의 언어로 엄밀하게 정의했을 뿐 개념자체는 고등학교에서 배웠던 좌극한, 우극한과 다를바 없다. $x$보다 큰 점들로만 이루어진 $x$로 수렴하는 수열에 대해서 함숫값의 수열이 수렴하면 그걸 우극한, 반대의 경우를 좌극한으로 부르자는 말이다. 위의 정의에 따르면 아래의 사실이 성립함이 자명하다는 것을 알 수 있다. 고등학교에서는 아래의 명제가 연속의 정의였다.
정리
임의의 점 $x\in (a,b)$에 대해서 극한 $\lim \limits_{t \to x}f(t)$이 존재한다는 것은
$$ f(x+)=f(x-)=\lim \limits_{t\to x }f(t) $$
가 성립한다는 것과 동치이다.