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도함수와 함수의 증가감소의 관계 📂해석개론

도함수와 함수의 증가감소의 관계

정리

함수 ff가 (a,b)(a,b)에거 미분 가능하다고 하자.

  • 만약 모든 x∈(a,b)x\in (a,b)에 대해서 f′(x)≥0f^{\prime}(x) \ge 0이면, ff는 단조롭게 증가한다.

  • 만약 모든 x∈(a,b)x\in (a,b)에 대해서 f′(x)=0f^{\prime}(x)=0이면, ff는 상수함수이다.

  • 만약 모든 x∈(a,b)x\in (a,b)에 대해서 f′(x)≤0f^{\prime}(x) \le 0이면, ff는 단조롭게 감소한다.

증명

평균값 정리로부터 모든 x1,x2∈(a,b)x_{1},x_{2}\in (a,b)와 x∈(x1,x2)x \in (x_{1},x_{2})에 대해서 다음이 성립한다.

f(x2)−f(x1)=(x2−x1)f′(x) f(x_{2}) - f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})f^{\prime}(x)

x2−x1>0x_{2}-x_{1}>0이므로 f′(x)≥0f^{\prime}(x)\ge 0이면 f(x2)−f(x1)≥0f(x_{2})-f(x_{1})\ge 0이고 이는 ff가 단조증가함수임을 의미한다.

나머지 경우도 마찬가지로 성립한다.

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