도함수와 함수의 증가감소의 관계
정리
함수 $f$가 $(a,b)$에거 미분 가능하다고 하자.
만약 모든 $x\in (a,b)$에 대해서 $f^{\prime}(x) \ge 0$이면, $f$는 단조롭게 증가한다.
만약 모든 $x\in (a,b)$에 대해서 $f^{\prime}(x)=0$이면, $f$는 상수함수이다.
만약 모든 $x\in (a,b)$에 대해서 $f^{\prime}(x) \le 0$이면, $f$는 단조롭게 감소한다.
증명
평균값 정리로부터 모든 $x_{1},x_{2}\in (a,b)$와 $x \in (x_{1},x_{2})$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ f(x_{2}) - f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})f^{\prime}(x) $$
$x_{2}-x_{1}>0$이므로 $f^{\prime}(x)\ge 0$이면 $f(x_{2})-f(x_{1})\ge 0$이고 이는 $f$가 단조증가함수임을 의미한다.
나머지 경우도 마찬가지로 성립한다.
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