📂함수

쌍곡함수의 표기법과 명명의 이유

정의

두 지수함수의 선형결합 $\frac{1}{2}e^{x} - \frac{1}{2}e^{-x}$를 쌍곡 사인함수^{hyperbolic sine function}라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$\sinh x := \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$$

비슷하게 $\frac{1}{2}e^{x} + \frac{1}{2}e^{-x}$를 쌍곡 코사인함수^{hyperbolic cosine function}라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$\cosh x := \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$

설명

$\sinh$와 $\cosh$의 이름과 표기법은 "쌍곡" + "사인(코사인)"으로 이루어져있다. 정의만 봐서는 이들의 이름이 왜 이렇게 지어졌는가를 알기 어렵다. 왜 쌍곡인지, 왜 삼각함수인지 알아보자.

왜 쌍곡함수인가?

결론부터 말하자면 쌍곡함수의 이름은 쌍곡선에서 따왔다. 2차원 평면상의 두 점 $x$와 $y$를 $\cosh$와 $\sinh$로 나타내자.

$$x(t) = \cosh t \\[1em] y(t) = \sinh t$$

그러면 점 $(x, y)$가 그리는 자취가 바로 쌍곡선이 된다. $$\begin{align*} x^{2} - y^{2} = \cosh^{2} t - \sinh^{2} t &= \left( \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2} \right)^{2} - \left( \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \right)^{2}\\ &= \dfrac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \dfrac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = 1 \end{align*}$$

마치 원 위의 점이 매개변수 방정식 $x(t) = \cos t$과 $y(t) = \sin t$로 나타나는 것과 같다.

왜 사인(코사인)함수인가?

이름이 왜 사인(코사인)인가는 정의역을 복소수까지 확장해야 알 수 있다. 쌍곡함수와 삼각함수 사이에 다음과 같은 관계식이 성립한다.

$$\sinh(ix) = i \sin x \\[1em] \cosh(ix) = \cos x$$

위 식을 보면 쌍곡함수와 삼각함수가 서로 연관되어있음을 알 수 있다. 이런 관계로 인해 두 함수 $\dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$와 $\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$에 $\sin$과 $\cos$의 이름을 붙여준 것이다.

같이보기

• 복소해석에서 삼각함수와 쌍곡함수의 관계