📂동역학

미분방정식로 표현되는 시스템의 오메가 리미트 셋

정의

거리 공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x)$$ 이 시스템의 플로우 $\phi ( t, x )$ 와 한 점 $x_{0} \in X$ 에 대해, $t_{i} \to \infty$ 일 때 $$\phi \left( t_{i} , x_{0} \right) \to x$$ 을 만족하는 시간의 시퀀스 $\left\{ t_{i} \right\} \subset \mathbb{R}$ 이 존재하면 $x \in X$ 를 $x_{0}$ 의 오메가 리미트 포인트라 한다. $x_{0}$ 의 오메가 리미트 포인트의 집합을 $x_{0}$ 의 오메가 리미트 셋이라 하고, $\omega \left( x_{0} \right)$ 와 같이 나타낸다.

설명

위의 정의에서 다른 건 그대로 두고 $t_{i} \to - \infty$ 로 바꾸면 알파 리미트 포인트 , 알파 리미트 셋 , $\alpha \left( x_{0} \right)$ 와 같이 바뀌게 된다. 알파와 오메가는 그리스 알파벳의 처음과 끝으로써, 시간이 음의 무한대(처음)로 갔을 땐 $\alpha \left( x_{0} \right)$ 을 다루고 양의 무한대(끝)로 갔을 땐 $\omega \left( x_{0} \right)$ 를 다루어 직관적인 센스에서 말이 되는 명명이라 할 수 있겠다.리미트 포인트는 집적점으로 번역되며, 위상수학에서와 달리 플로우가 주어져서 시간이 과거로 흐르냐 미래로 흐르냐를 신경쓰는 차이가 있다. 물론 대부분의 경우 관심을 받는 것은 미래, 그러니까 오메가 리미트가 될 것이다.

적어도 우리가 다루는 시스템이 상미분방정식으로 주어진 이상, $x_{0}$ 를 초기위치로 갖는 오메가 리미트 셋은 커브의 형태 혹은 한 점일 가능성이 크다. 점이 움직이면서 만드는 궤적이 면적을 가지는 영역을 이룰 수 없다고는 못하지만, 벡터필드의 정의에 따르면 그러한 일은 사실상 불가능하다고 보아야한다.

성질

오메가 리미트 셋의 성질: ¹전체 공간이 유클리드 공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 이고 플로우 $\phi_{t} ( \cdot )$ 에서 컴팩트 양불변집합 $\mathcal{M}$ 의 한 점 $p \in \mathcal{M}$ 이 주어져 있다고 하자.

• [1]: $\omega (p) \ne \emptyset$
• [2]: $\omega (p)$ 는 닫힌 집합이다.
• [3]: $\omega (p)$ 는 플로우에 불변이다. 즉, $\omega (p)$ 는 오빗들의 합집합이다.
• [4]: $\omega (p)$ 는 연결 공간이다.

물론 이러한 성질들은 알파 리미트에 대해서도 마찬가지다.

성질 [1]의 증명

$p \in \mathcal{M}$ 과 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} t_{k} = \infty$ 인 시간의 시퀀스 $\left\{ t_{k} \right\} \subset \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같은 집합 $\Phi (p) \subset \mathcal{M}$ 을 정의하자. $$\Phi (p) := \left\{ p_{k} : p_{k} = \phi_{t_{k}} (p) \right\}$$ $\mathcal{M}$ 은 컴팩트하므로 볼자노-바이어슈트라스 정리에 따라 $\omega (p)$ 의 한 점으로 수렴하는 $\Phi (p)$ 의 서브 시퀀스가 존재하고, 따라서 $\omega (p) \ne \emptyset$

■

성질 [2]의 증명

$\omega (p)^{c}$ 가 오픈 셋임을 보이면 충분하다. $\omega (p)$ 밖에서 임의의 한 점 $q \notin \omega (p)$ 을 잡아보면 어떤 $T > 0$ 에 대해 $$\left\{ \phi_{t} (p) : t \ge T \right\} \cap \mathcal{N} (q) = \emptyset$$ 을 만족하는 $q$ 의 네이버 후드 $\mathcal{N} (q)$ 가 존재해야한다. 다시 말해, $q$ 는 $\omega (p)$ 와 디스조인트한 어떤 오픈 셋에 포함되어야만하는데, 이 $q$ 는 $\omega (p)$ 밖에서 임의로 잡은 것이므로 $\omega (p)^{c}$ 는 오픈 셋이어야한다.

■

성질 [3]의 증명

우선 모든 $q \in \omega (p)$ 와 $s \in \mathbb{R}$ 대해 $\phi_{s} ( q )$ 이 존재한다고 가정하자. 이 가정은 원래 증명이 필요하고 가능하지만 내용에 비해 큰 의미가 없는 것 같아 생략한다. $$q \in \omega (p) \\ \widetilde{q} := \phi_{s} (q)$$ 라 하고 $\lim_{k \to \infty } t_{k} = \infty$ 일 때 $\phi_{t_{k}} (p) \to q$ 이 되게끔하는 시간의 시퀀스 $\left\{ t_{k} \right\} \subset \mathbb{R}$ 를 잡자. 그러면 $k \to \infty$ 일 때 $$\phi_{t_{k} + s} (p) = \phi_{s} \left( \phi_{t_{k} } (p) \right) \to \widetilde{q}$$ 이므로 $\widetilde{q} \in \omega (p)$ 고, 따라서 $\omega (p)$ 는 불변하다.

■

성질 [4]의 증명

$\omega (p)$ 가 연결 공간이 아니라고 가정해보면 다음을 만족하는 오픈 셋 $V_{1} , V_{2} \subset \mathbb{R}^{n}$ 이 존재한다. $$\omega (p) \subset V_{1} \cap V_{2} \\ \omega (p) \cap V_{1} \ne \emptyset \\ \omega (p) \cap V_{2} \ne \emptyset \\ V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$$ 이에 대해 $K := \mathcal{M} \setminus \left( V_{1} \cup V_{2} \right)$ 이라 하자. $V_{1}, V_{2}$ 이 정의된 바에 따르면 $p \in \mathcal{M}$ 의 오빗은 $V_{1}, V_{2}$ 양쪽 모두에 걸쳐있게 되고, 모든 $T > 0$ 에 대해 $\phi_{t} (p) \in K$ 을 만족하는 $t > T$ 가 존재하므로 $k \to \infty$ 일 때 $t_{k} \to \infty$ 이면서 $\phi_{t_{k}} (p) \in K$ 인 시간의 시퀀스 $\left\{ t_{k} \right\}$ 를 잡을 수 있다. 왜냐하면 $V_{1}$ 와 $V_{2}$ 가 떨어져있으면서 두 집합 모두 $\omega (p)$ 와 서로소가 아니므로 $\phi_{t}$ 가 $V_{1}$ 와 $V_{2}$ 둘 중 한 곳에 영원히 머무를 수 없고, 반대편으로 건너가면서 $K$ 통과할 수 밖에 없기 때문이다. $V_{1} , V_{2}$ 는 오픈 셋이므로 $K$ 는 컴팩트고, 볼자노-바이어슈트라스 정리에 따라서 $\phi_{t_{k}} (p)$ 가 $q \in K$ 로 수렴하게끔하는 $\left\{ t_{k} \right\}$ 의 서브 시퀀스가 존재하는데, 이는 곧 $q \notin V_{1} \cup V_{2}$ 이다. 그런데 오메가 리미트 셋의 정의에서 $q \in \omega (p)$ 여야하므로 $\omega (p) \subset V_{1} \cap V_{2}$ 와 모순이다. 따라서 $\omega (p)$ 는 연결 공간이다.

■