📂초함수론

초함수의 스무스 함수와의 곱셈

빌드업

초함수는 정의역이 함수공간이기 때문에 실수 공간에서 정의된 함수와 곱셈을 할 수 없다. 하지만 정칙 초함수의 경우 대응되는 국소 적분 가능한 함수 $u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$가 있어서 아래와 같이 표현된다.

$$T_{u}(\phi)=\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

따라서 $u$에 가해지는 어떤 작용 $S$에 의해 $Su=u^{\prime}$을 얻을 수 있을텐데 여전히 $u^{\prime}$이 국소 적분 가능한 함수라면 거기에 대응되는 초함수 $T_{u^{\prime}}$이 존재한다. 따라서 $u$에 대한 작용 $S$를 $T_{u}$에 대한 작용인 것처럼 생각하자는 것이다. 이러한 아이디어를 초함수 전체로 확장하여 초함수와 함수의 곱셈을 정의하려고 한다.

함수 $f \in C^{\infty}$가 주어졌다고 하자. 그러면 $u$와의 곱인 $fu$도 여전히 국소 적분가능하다. 따라서 대응되는 초함수가 아래와 같이 존재한다.

$$\begin{align*} T_{fu}(\phi) &= \int f(x)u(x)\phi (x) dx \\ &= \int u(x)\left( f(x)\phi (x) \right)dx \\ &=T_{u}(f\phi) \end{align*}$$

정의¹

스무스 함수 $f$와 초함수 $T$의 곱을 아래와 같이 정의한다.

$$f(x)T(\phi):=T(f\phi)$$