📂초함수론

초함수의 트랜슬레이션

빌드업

초함수는 정의역이 함수공간이기 때문에 실수 공간에서 정의된 함수와 같은 식으로 트랜슬레이션을 할 수 있는 건 아니다. 하지만 정칙 초함수의 경우 대응되는 국소 적분 가능한 함수 $u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$가 있어서 아래와 같이 표현된다.

$$ T_{u}(\phi) =\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}) $$

따라서 $u$에 가해지는 어떤 작용 $S$에 의해 $Su=u^{\prime}$을 얻을 수 있을텐데 여전히 $u^{\prime}$이 국소 적분 가능한 함수라면 거기에 대응되는 초함수 $T_{u^{\prime}}$이 존재한다. 따라서 $u$에 대한 작용 $S$를 $T_{u}$에 대한 작용인 것처럼 생각하자는 것이다. 이러한 아이디어를 초함수 전체로 확장하여 초함수의 트랜슬레이션을 정의하려고 한다.

$u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$와 그에 대응되는 정칙 초함수 $T_{u}$가 주어졌다고 하자. 트랜슬레이션의 기호로 $T$를 쓰지만, $T$를 이미 초함수의 기호로 쓰고 있으므로 shifting의 $S$를 따와 $a\in \mathbb{R}$에 대한 트랜슬레이션을 $S_{a}$라고 하자. 그리고 $u$의 트랜슬래이션을 $u^{\prime}(x)=(S_{a}u)(x)=u(x-a)$라고 하자. 그러면 여전히 $u^{\prime} \in L_{\mathrm{loc}}^{1}$이다. 따라서 $u^{\prime}$에도 대응되는 정칙 초함수 $T_{u^{\prime}}$이 존재하고 다음과 같다. $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$에 대해서

$$ \begin{align*} T_{u^{\prime}}(\phi)&=\int u^{\prime}(x)\phi (x)dx \\ &= \int u(x-a)\phi (x)dx \\ &=\int u(x)\phi (x+a)dx \\ &= \int u(x) S_{-a}\phi (x) dx \\ &=T_{u}(S_{-a}\phi) \end{align*} $$

테스트 함수 $\phi$는 대칭이동해도 여전히 테스트 함수이므로 위의 계산에는 문제가 없음을 알 수 있다. 따라서 $T$를 대칭 이동시킨다는 것을 $u$를 대칭이동 시키는 것으로 이해할 수 있다. 또한 결과적으로 테스트 함수를 반대로 대칭이동 시키는 것과 같은 작용임을 알 수 있다.

정의¹

초함수 $T$의 트랜슬레이션을 아래와 같이 정의 한다.

$$ (S_{a}T)(\phi):=T(S_{-a}\phi) $$