테스트 함수와 테스트 함수 공간
정의1
열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$와 함수 $\phi : \Omega \to \mathbb{C}$가 주어졌다고 하자. $\phi$가 무한히 미분 가능하고, 그 도함수들이 전부 연속이며, 컴팩트 서포트를 가지면 테스트 함수test function라 한다. 테스트 함수들의 함수 공간을 $C_{c}^{\infty}(\Omega)$ 혹은 간단하게 $\mathcal{D}(\Omega)$라고 표기한다.
설명
test function 혹은 testing function이라 부르기도 한다. 위와 같은 $\phi$를 테스트 함수라고 이름 지은 까닭은 $\phi$ 그 자체에 대해서 다루고 싶은게 아니라 어떤 다른 함수를 정의하고, 그 함수의 성질을 연구하는데 쓰려는 목적이 있기 때문이다. 구체적으로 말하자면 테스트 함수는 디랙 델타 함수와 같이 수학적으로 애매함이 있는 함수들을 엄밀하게 정의하는데 쓰인다. 테스트 함수의 구체적인 예로 몰리파이어가 있다.
정리2
$\phi$가 테스트 함수이면 도함수도 테스트 함수이다.
$$ \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \implies \frac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}} \in \mathcal{D}(\Omega) (i=1,\cdots,n) $$
이때 $x=(x_{1},\cdots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}$이다.
증명
테스트 함수의 정의에 의해서 $\dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}} \in C^{\infty}$임은 자명하다. 이제 $x_{0} \notin \mathrm{supp} \phi$라고 해보자. 그러면 $x_{0} \in \left( \mathrm{supp} \phi \right)^{c}$ 이고 서포트는 닫힌 집합이므로 $(\mathrm{supp} \phi)^{c}$는 열린 집합이다. 그러면 오픈 셋의 정의에 의해 $x_{0}$를 포함하는 어떤 근방 $N_{x_{0}}$가 존재한다. 또한 서포트의 정의에 의해서 $N_{x_{0}}$위에서 $\phi=0$이고 당연히 $\dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}=0$이다. 이는 $x_{0} \notin \mathrm{supp} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}$임을 의미한다. 따라서 다음이 성립한다.
$$ \mathrm{supp} \frac{ \partial \phi}{ \partial x_{i} } \subset \mathrm{supp} \phi $$
컴팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 컴팩트이므로 $\mathrm{supp} \dfrac{ \partial \phi}{ \partial x_{i}}$는 컴팩트이다.
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따름정리
$\phi,\phi_{1},\phi_{2} \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$, $x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$, $a \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\psi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
(a) $\phi (x-x_{0})$, $\phi (-x)$, $\phi (ax)\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$
(b) $\psi \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$
(c) $\phi_{1} * \phi_{2} \in \mathcal{D}$
자명하므로 증명은 생략한다.