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델타 함수의 역사와 디랙이 델타 함수를 사용한 이유

델타 함수의 역사^{1 2 3}

델타 함수는 19세기 초반 푸아송(1815), 푸리에(1822), 코시(1823, 1827) 등 수학, 물리학에 지대한 업적을 남긴 학자들의 작업물에서부터 나타나기 시작했다. 다만 이 당시에는 델타 함수를 현재와 같이 수학적으로 엄밀하게 정의하는데 집중한 것은 아니었다. 그 후에 키르히호프(1882, 1891)와 헤비사이드(1893, 1899)가 처음으로 델타 함수의 수학적인 정의를 제안하였다. 물론 현대의 관점에서 봤을 때 이도 수학적으로 엄밀한 것은 아니었다.

헤비사이드는 델타 함수를 단위 계단 함수의 도함수인 것으로 설명했다. 델타 함수는 그 후로 라플라스 변환과 관련해서, 특히 전기 공학에서 자유롭게 쓰이게 되었다. 그러다 폴 디랙(1927)이 양자역학의 이론에 대한 작업물에서 델타 함수를 소개하였는데, 이후로 델타 함수가 많이 쓰이게 되면서 유명해졌다. 이러한 역사적 배경으로 인해 델타 함수는 디랙 델타 함수라는 이름으로 불리게 되었다. 물론 이 때까지도 델타 함수에 대해 수학적으로 엄밀한 정의를 세운 사람은 없었다.

이를 해낸 사람은 프랑스의 수학자 슈바르츠이다. 슈바르츠는 1935년 델타 함수를 처음 접한 후 1950년에 Theorie des Distribution이라는 책을 통해 델타 함수를 수학적으로 엄밀하게 설명 하였다. 함수 공간의 functional로서 델타 함수와 같은 것들을 정의하여 말 그대로 '대충'쓰고 있던 델타함수에 타당성을 부여해준 것이다.

디랙에게 델타 함수가 필요했던 이유

결론부터 말하자면 디랙에게는 연속적인 변수에 대해 크로네커 델타와 같은 역할을 하는 무언가가 필요했고 그게 델타 함수였다. 아마도 이것이 디랙이 델타 함수의 기호로 $\delta$를 선택한 이유인 것으로 보인다.

이제 어떤 수열 $\left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots \right\}$가 주어졌다고 하자. 이때 특정한 성분 $a_{i}$를 어떤 방식으로 선택할 수 있을까? '특정한 성분과의 곱에서만 $0$이 아닌 어떤 것'을 모든 성분에 곱해서 다 더해주면 특정한 $a_{i}$를 골라낼 수 있을 것이다. 그러한 것을 아래와 같이 정의하고 크로네커 델타라고 부른다.

$$\begin{equation} \delta_{ij}=\begin{cases} 1,&i=j \\ 0,& i\ne j\end{cases} \end{equation}$$

그러면 $a_{i}$를 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{equation} a_{i}=\sum \limits_{j=1}\delta_{ij}a_{j} \end{equation}$$

또한 크로네커 델타에 대해서 아래의 식이 성립함을 알 수 있다.

$$\begin{equation} \sum \limits_{j=1}\delta_{ij}=1 \end{equation}$$

이제 양자역학으로 넘어가보자. 파동 함수 $\phi \in L^2(\mathbb{R})$가 주어졌다고 하자. $\phi$가 $n$개의 상태로 표현 된다면 각 상태의 진폭을 크로네커 델타를 이용해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align*} && | \phi \rangle &= a_{1}|\phi_{1}\rangle +a_{2}|\phi_{2}\rangle+\cdots+a_{n}|\phi_{n}\rangle=\sum \limits _{j=1} ^{n}a_{j}|\phi_{j}\rangle \\ \implies && a_{i} &= \langle\phi_{i} | \phi \rangle=\sum_{j=1}^{n}a_{j}\langle \phi_{i}|\phi_{j}\rangle =\sum \limits _{j=1} ^{n}a_{j}\delta_{ij} \end{align*} \tag{4}$$

그런데 관측 가능한 물리량⁴은 위와 같이 이산적으로 나뉘어져있지 않을 수 있다. 위치로 생각해보면 우리는 1미터 마다의 간격으로 서있을 수 있는게 아니라 어디에도 서있을 수 있다. 따라서 위치 연산자에 대한 고유 함수 $|x\rangle$는 비가산개가 될 수 있다. 그러면 $(4)$와 같이 크로네커 델타와 $\sum$으로 표현할 수 없으므로 적분으로 표현해야 한다. 각 위치에 대한 진폭을 $f(x)$라고 하면

$$| \phi \rangle = \int f(x) |\phi \rangle dx$$

여기서 위치 $x_{0}$의 고유 함수$|x_{0}\rangle$의 진폭 $f(x_{0})$를 구하려면

$$f(x_{0})=\langle x_{0} |\phi \rangle = \int f(x) \langle x_{0}|x \rangle dx$$

이제 해야할 일은 오른쪽의 적분이 $f(x_{0})$이 되도록 해야하는 것이다. 이는 $\langle x_{0} | x\rangle$를 아래와 같은 성질을 가진 어떤 함수 $\delta$라고 하면 해결된다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} \delta (x-x_{0})=0,\quad x\ne x_{0} \\ f(x_{0}) = \int f(x)\delta (x-x_{0})dx \\ \int \delta (x-x_{0})dx =1 \end{aligned} \end{equation}$$

$(5)$와 $(1)$, $(2)$, $(3)$을 비교해보면 디랙의 델타 함수는 크로네커 델타의 연속 변수에 대한 확장이라고 볼 수 있다. 디랙은 자신의 책⁵에서 $(5)$의 중간 식을 '$f(x)$에 $x_{0}$를 대입하는 것과 $f(x)$에 $\delta (x-x_{0})$를 곱해서 전체 영역에 대해 적분하는 것은 같다'고 설명했다. 또한 수학적으로 엄밀하게 함수가 아니라고 했으며 이 때문에 결과에 모순이 생기지 않도록 단순한 표현에서만 사용해야한다고 언급했다.