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근 판정법 📂미분적분학

근 판정법

정리1

급수 n=0an\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}에 대해서, limnann=L\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = L이라 하자.

(a) L<1L < 1이면, 급수는 절대수렴한다.

(b) L>1L > 1이거나 L=L = \infty이면, 급수는 발산한다.

(c) L=1L = 1이면, 판정할 수 없다.

설명

L=1L = 1이면 판정할 수 없으므로, 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하기 위해서는 다른 판정법을 써야한다. 정리의 진술이 비 판정법과 유사하다.

(c)

L=1L = 1이면 수렴일 수도 있고, 발산일 수도 있다. 급수 1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}을 보면, limn1n2n=limnn2/n=limn(eln(n2/n))=limn(e(2/n)ln(n))=elimn(2/n)lnn \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \dfrac{1}{n^{2}} \right|} = \lim\limits_{n \to \infty} n^{-2/n} = \lim\limits_{n \to \infty} (e^{\ln (n^{-2/n})}) = \lim\limits_{n \to \infty} (e^{ (-2/n) \ln (n)}) = e^{\lim\limits_{n \to \infty} (-2/n) \ln n}

마지막 등호는 지수함수가 연속함수이므로 성립한다. 로피탈 정리에 의해, limn(2/n)lnn=2limnlnnn=2limn1n=0 \lim\limits_{n \to \infty} (-2/n) \ln n = -2 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = -2 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 이므로, L=1L = 1이다. 급수는 p=2p=2pp-급수이므로 수렴한다.

반면에 급수 (n+1n)n\sum \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n}를 생각해보면,

limn(n+1n)nn=limnn+1n=1 \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n} } = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} = 1

이므로 L=1L = 1인데, limn(n+1n)n=limn(1+1n)n=e\lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e이므로 발산 판정법에 의해 급수는 발산한다. 이 두가지 예시를 통해 L=1L = 1인 경우에는 급수의 수렴성을 판별할 수 없다는 것을 알 수 있다.

증명

(a)

증명의 아이디어는 수렴하는 기하급수비교하는 것이다. L<1L \lt 1이므로 L<r<1L \lt r \lt 1을 만족하는 양수 rr이 존재한다. 그러면, limnann=L\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = L이므로, 어떤 충분히 큰 NN에 대해서 다음이 성립한다.

ann<r,for all nN \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} \lt r, \quad \text{for all } n \ge N

다시 적으면

an<rn,for all nN \left| a_{n} \right| \lt r^{n}, \quad \text{for all } n \ge N

그런데 급수 n=Nrn\sum\limits_{n = N}^{\infty} r^{n}기하급수이고 r<1|r| \lt 1이므로 수렴한다. 따라서 비교판정법에 의해 n=Nan\sum\limits_{n = N}^{\infty} |a_{n}|도 수렴한다. 즉 an\sum a_{n}이 절대수렴한다. (앞의 유한한 항은 급수의 수렴에 영향을 끼치지 않음)

(b)

L>1L > 1이거나 L=L = \infty이면, 충분히 큰 NN에 대해서 다음이 성립한다.

ann>1,for all nN \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N

    an>1,for all nN \implies \left| a_{n} \right| \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N

따라서 limnan0\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \ne 0이므로, 발산판정법에 의해 an\sum a_{n}은 발산한다.


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p776-777 ↩︎