근 판정법
📂미분적분학근 판정법
정리
급수 n=0∑∞an에 대해서, n→∞limn∣an∣=L이라 하자.
(a) L<1이면, 급수는 절대수렴한다.
(b) L>1이거나 L=∞이면, 급수는 발산한다.
(c) L=1이면, 판정할 수 없다.
설명
L=1이면 판정할 수 없으므로, 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하기 위해서는 다른 판정법을 써야한다. 정리의 진술이 비 판정법과 유사하다.
(c)
L=1이면 수렴일 수도 있고, 발산일 수도 있다. 급수 ∑n21을 보면,
n→∞limnn21=n→∞limn−2/n=n→∞lim(eln(n−2/n))=n→∞lim(e(−2/n)ln(n))=en→∞lim(−2/n)lnn
마지막 등호는 지수함수가 연속함수이므로 성립한다. 로피탈 정리에 의해,
n→∞lim(−2/n)lnn=−2n→∞limnlnn=−2n→∞limn1=0
이므로, L=1이다. 급수는 p=2인 p−급수이므로 수렴한다.
반면에 급수 ∑(nn+1)n를 생각해보면,
n→∞limn(nn+1)n=n→∞limnn+1=1
이므로 L=1인데, n→∞lim(nn+1)n=n→∞lim(1+n1)n=e이므로 발산 판정법에 의해 급수는 발산한다. 이 두가지 예시를 통해 L=1인 경우에는 급수의 수렴성을 판별할 수 없다는 것을 알 수 있다.
증명
(a)
증명의 아이디어는 수렴하는 기하급수와 비교하는 것이다. L<1이므로 L<r<1을 만족하는 양수 r이 존재한다. 그러면, n→∞limn∣an∣=L이므로, 어떤 충분히 큰 N에 대해서 다음이 성립한다.
n∣an∣<r,for all n≥N
다시 적으면
∣an∣<rn,for all n≥N
그런데 급수 n=N∑∞rn는 기하급수이고 ∣r∣<1이므로 수렴한다. 따라서 비교판정법에 의해 n=N∑∞∣an∣도 수렴한다. 즉 ∑an이 절대수렴한다. (앞의 유한한 항은 급수의 수렴에 영향을 끼치지 않음)
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(b)
L>1이거나 L=∞이면, 충분히 큰 N에 대해서 다음이 성립한다.
n∣an∣>1,for all n≥N
⟹∣an∣>1,for all n≥N
따라서 n→∞liman=0이므로, 발산판정법에 의해 ∑an은 발산한다.
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