📂다변수벡터해석

벡터필드에서의 다이벌전스

정의

유클리드 공간에서 정의된 벡터필드 $\textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 을 $\textbf{f} = (f_{1} , \cdots , f_{n})$ 과 같이 나타내고 축의 방향을 $u_{1} , \cdots , u_{n}$ 이라고 할 때, $\textbf{f}$ 의 다이벌전스 를 다음과 같이 정의한다.

$$\operatorname{div} \textbf{f} := \nabla \cdot \textbf{f} = \sum_{k=1}^{n} {{ \partial f_{k} } \over { \partial u_{k} }}$$

설명

벡터필드의 다이벌전스는 다음과 다음과 같이 한 점 $\textbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 가 주어져 있을 때 그 점에서 벡터들이 모이는지, 퍼지는지에 대한 하나의 척도가 된다.

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다이벌전스는 흐름에 대한 양을 나타내므로 동역학이나 유체역학, 전자기학 등에서 많이 언급된다. 한편 $0$ 과의 대소를 비교할 수 있다는 것은 $\nabla \cdot \textbf{f} (\textbf{v}) \in \mathbb{R}$, 다시 말해 한 점에서의 다이벌전스는 스칼라는 팩트를 다시금 상기시킬 수 있다. 이는 주어진 벡터필드에서 다이벌전스를 통해 물리적이거나 수학적인 의미를 가지는 스칼라 필드를 이끌어낼 수 있다는 것이다.

$\nabla$ 는 나블라nabla라고 읽으며, 기울기를 구할 때도 사용되나 $\nabla \cdot$ 의 형태로 쓰이면 조금 다른 의미가 된다. 우리에게 익숙한 $3$차원으로 생각해보자. 스칼라 함수 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 의 기울기는

$$\nabla f = \left( {{ \partial f } \over { \partial x }} , {{ \partial f } \over { \partial y }} , {{ \partial f } \over { \partial z }} \right)$$

와 같이 구했다. 야매 수학으로써 벡터 $\textbf{x}=(x_{1} , x_{2} , x_{3})$ 와 스칼라 $a \in \mathbb{R}$ 의 스칼라 곱은

$$\textbf{x} a = (x_{1} , x_{2} , x_{3}) a = (x_{1} a , x_{2} a , x_{3} a)$$

와 같이 나타낼 수 있는 것처럼, $\nabla$ 를 각 축의 방향으로 편미분하는 벡터 작용소 $\displaystyle \nabla \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} , {{ \partial } \over { \partial y }} , {{ \partial } \over { \partial z }} \right)$ 로 생각해보면 스칼라 함수 $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 와의 스칼라곱이

$$\nabla f \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} , {{ \partial } \over { \partial y }} , {{ \partial } \over { \partial z }} \right) f \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} f , {{ \partial } \over { \partial y }} f , {{ \partial } \over { \partial z }} f \right)$$

와 같이 나타난다고 볼 수도 있을 것이다. 비슷한 거짓말을 벡터 함수 $\textbf{f} := \left( f_{1} , f_{2} , f_{3} \right)$ 에 대해서 확장해보면 두 벡터 $\nabla$ 와 $\textbf{f}$ 의 내적 $\cdot$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있을 것이다.

$$\nabla \cdot \textbf{f} \overset{?}{=} \left( {{ \partial } \over { \partial x }} , {{ \partial } \over { \partial y }} , {{ \partial } \over { \partial z }} \right) \cdot \left( f_{1} , f_{2} , f_{3} \right) \overset{?}{=} {{ \partial } \over { \partial x }} f_{1} + {{ \partial } \over { \partial y }} f_{2} + {{ \partial } \over { \partial z }} f_{3}$$

그러나 이는 찰떡같은 노테이션이라서 쓰는거지, 실제로 엄밀한 정의와 고찰을 통해 이러한 표현의 정당성을 검토하지 않았다면 어디까지나 이해를 돕는 방식으로만 생각해야한다. 냉정하게 보아서 $\nabla$ 는 $f$ 의 기울기를 나타내는 스칼라 함수의 함수, $(\nabla \cdot)$ 은 통째로 $\textbf{f}$ 의 다이벌전스를 나타내는 벡터 함수의 함수일 뿐이다. 까짓거 $\nabla$ 와 $\cdot$ 를 따로 생각해도 되긴하는데, 함부로 따로 생각하지는 말라는 것이다.