곡선 좌표계의 스케일 팩터
빌드업
곡선 좌표계에서 스케일 팩터는 각 성분이 길이 차원을 갖도록 곱해주는 요소이다. 예를 들어 극 좌표계는 $(r,\theta)$로 표현되는데 $\theta$가 변할 때 마다 좌표가 움직이는 거리는 호의 길이인 $l=r\theta$이다. 여기서 $r$과 같은 것들을 스케일 팩터라고 부른다. 임의의 좌표계의 변수가 $(q_{1},q_{2},q_{3})$라고 하자. 그러면 스케일 팩터를 이용해서 임의의 좌표계에 대해서 미소 길이, 미소 면적, 미소 부피를 표현하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} d\mathbf{r} &=h_{1}dq_{1}\hat{\mathbf{q}_{1}}+h_{2}dq_{2}\hat{\mathbf{q}_{2}}+h_{3}dq_{3}\hat{\mathbf{q}_{3}} \\ ds^{2} &=(h_{1}dq_{1})^{2}+(h_{2}dq_{2})^{2}+(h_{3}dq_{3})^{2} \\ dV &= h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3} \end{align*} $$
이때 $h_{i}=\sqrt{g_{ii}}=\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i} }\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i} }}$이다. 각 좌표계마다 스케일 팩터, 미소 길이, 미소 면적, 미소 부피는 는 다음과 같다.
공식
극 좌표계:
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r $$
$$ \begin{align*} d\mathbf{r} &=dr\hat{\mathbf{r}}+rd\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ \\ ds^{2}&=dr^{2}+r^{2}d\theta^{2} \\ \\ dV&= rdrd\theta \end{align*} $$
원통 좌표계:
$$ h_{1}=1, \quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$
$$ \begin{align*} d\mathbf{r}&=d\rho \hat{\mathbf{\rho}}+\rho d\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}+dz\hat{\mathbf {z}} \\ \\ ds^{2}&=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\phi^{2}+dz^{2} \\ \\ dV&= \rho d\rho d\phi dz \end{align*} $$
구 좌표계:
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r,\quad h_{3}=r\sin\theta $$
$$ \begin{align*} d\mathbf{r}&=dr \hat{\mathbf{r}}+r d\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+r\sin\theta d\phi\hat {\mathbf{\boldsymbol{\phi}}} \\ \\ ds^{2}&=dr ^{2}+r ^{2}d\theta^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2} \\ \\ dV&= r^{2}\sin\theta dr d \theta d \phi \end{align*} $$
증명
극 좌표계에 대한 증명은 최대한 상세히 작성하였고, 그 외의 증명은 간략하게 작성하였다.
극 좌표계
$q_{1}=r$, $q_{2}=\theta$이고, 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}=r\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + r \sin \theta \hat{\mathbf{y}} $$
따라서 다음과 같다.
$$ \begin{align*} h_{1} &= \sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}} \cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1} }} =\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial r} \cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial r }} \\ &= \sqrt{\frac{ \partial (r\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + r \sin \theta \hat{\mathbf{y}})}{ \partial r} \cdot \frac{ \partial (r\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + r \sin \theta \hat{\mathbf{y}})}{ \partial r }} \\ &= \sqrt{(\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \theta \hat{\mathbf{y}})\cdot(\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \theta \hat{\mathbf{y}})} \\ &= \sqrt{\cos ^{2}\theta + \sin^{2}\theta} \\ &=1 \\ \\ h_{2}&=\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}} \cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1} }} =\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial \theta} \cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial \theta }} \\ &= \sqrt{\frac{ \partial (r\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + r \sin \theta \hat{\mathbf{y}})}{ \partial \theta} \cdot \frac{ \partial (r\cos \theta \hat{\mathbf{x}} + r \sin \theta \hat{\mathbf{y}})}{ \partial \theta }} \\ &= \sqrt{(-r\sin\theta \hat{\mathbf{x}} + r\cos \theta \hat{\mathbf{y}})\cdot(-r\sin\theta \hat{\mathbf{x}} + r\cos \theta \hat{\mathbf{y}})} \\ &= \sqrt{r^{2}\sin ^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta} \\ &=\sqrt{r^{2}} \\ &=r \end{align*} $$
그러므로 아래의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} d\mathbf{r}&=h_{1}dq_{1}\hat{\mathbf{q}_{1}} + h_{2}dq_{2}\hat{\mathbf{q}_{2}} \\ &=dr\hat{\mathbf{r}}+rd\theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ \\ ds^{2}&=(h_{1}dq_{1})^{2}+(h_{2}dq_{2})^{2} \\ &=dr^{2}+r^{2}d\theta^{2} \\ \\ dV&=h_{1}h_{2}dq_{1}dq_{2} \\ &= rdrd\theta \end{align*} $$
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원통 좌표계
$q_{1}=\rho$, $q_{2}=\phi$, $q_{3}=z$이고 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{r}=\rho\cos \phi \hat{\mathbf{x}} + \rho \sin \phi \hat{\mathbf{y}} +z\hat{\mathbf{z}} $$
따라서 $h_{1}$, $h_{2}$는 극 좌표계와 같이 구한다.
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r $$
$h_{3}$를 계산하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} h_{3} &=\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial z}\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial z }} \\ &= \sqrt{(\hat{\mathbf{z}})\cdot(\hat{\mathbf{z}})} \\ &=1 \end{align*} $$
따라서
$$ \begin{align*} d\mathbf{r}&=d\rho \hat{\mathbf{\rho}}+\rho d\phi \hat{\boldsymbol{\phi}}+dz\hat{\mathbf{z}} \\ \\ ds^{2}&=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\phi^{2}+dz^{2} \\ \\ dV&= \rho d\rho d\phi dz \end{align*} $$
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구 좌표계
$q_{1}=r$, $q_{2}=\theta$, $q_{3}=\phi$이고 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{r}=r\sin\theta\cos\phi \hat{\mathbf{x}} + r \sin \theta\sin \phi \hat{\mathbf{y}} +r\cos\theta\hat{\mathbf{z}} $$
따라서 다음과 같다.
$$ \begin{align*} h_{1} &=\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial r}\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial r }} \\ &= \sqrt{\sin^2{\theta}\cos^{2}\phi +\sin^{2}\theta\sin^{2}\phi+\cos^{2}\theta} \\ &=\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta} \\ &=1 \\ \\ h_{2} &=\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial \theta}\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial \theta }} \\ &= \sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta \cos^{2}\phi + r^{2}\cos^{2}\theta\sin ^{2}\phi+r^{2}\sin^{2}\theta} \\ &=\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta} \\ &=r \\ \\ h_{3}&=\sqrt{\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial \phi}\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial \phi }} \\ &=\sqrt{r^{2}\sin^{2}\theta \sin ^{2}\phi+r^{2}\sin\theta^{2}\cos^{2}\phi} \\ &= \sqrt{r^{2}\sin ^{2}\theta} \\ &=r\sin\theta \end{align*} $$
따라서 다음과 같다.
$$ \begin{align*} d\mathbf{r}&=dr \hat{\mathbf{r}}+r d\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+r\sin\theta d\phi\hat{\mathbf{\boldsymbol{\phi}}} \\ \\ ds^{2}&=dr ^{2}+r ^{2}d\theta^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2} \\ \\ dV&= r^{2}\sin\theta dr d \theta d \phi \end{align*} $$
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