전미분, 완전미분
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정의
다변수 함수 f:Rn→R가 주어졌다고 하자. 변수 x=(x1,x2,…,xn)의 변화에 따른 f(x)의 변화를 다음과 같이 df로 표기하고 이를 f의 전미분total differential 혹은 완전미분exact differential이라 한다.
df=∂x1∂fdx1+∂x2∂fdx2+⋯+∂xn∂fdxn
설명
위 정의는 변수 x의 변화에 따른 f 값의 변화를
각 성분의 변화량 dxi에, 각 성분의 변화에 따른 f의 변화율 ∂xi∂f을 곱한 ∂xi∂fdxi들을 모두 더한 것으로 생각하겠다는 뜻이다. 아래의 식을 통해 이러한 노테이션이 직관적이고 편리하다는 것을 알 수 있다. f=f(x,y,z)라고 할 때,
dxdf=∂x∂fdxdx+∂y∂fdxdy+∂z∂fdxdz=∂x∂f
물리학에서는 다음과 같은 꼴로도 자주 등장한다. (x(t),y(t),z(t))에 대해서,
dtdf=∂x∂fdtdx+∂y∂fdtdy+∂z∂fdtdz
유도
2변수 함수에 대해서 다음과 같은 방법으로 (1)을 유도할 수 있다. z=f(x,y)가 주어졌다고 하자. z의 전미분은 변수 x, y가 변할 때의 z의 변화량이라 했으므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
dz=f(x+dx,y+dy)−f(x,y)
여기서 우변에 f(x,y+dy)를 빼주고 더해준 뒤 식을 정리하면 아래와 같다.
dz=f(x+dx,y+dy)−f(x,y+dy)+f(x,y+dy)−f(x,y)=[f(x+dx,y+dy)−f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)−f(x,y)]=dxf(x+dx,y+dy)−f(x,y+dy)dx+dyf(x,y+dy)−f(x,y)dy≈∂x∂fdx+∂y∂fdy=∂x∂zdx+∂y∂zdy
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