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전미분, 완전미분 📂수리물리

전미분, 완전미분

정의

다변수 함수 f:RnRf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}가 주어졌다고 하자. 변수 x=(x1,x2,,xn)\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})의 변화에 따른 f(x)f(\mathbf{x})의 변화를 다음과 같이 dfdf로 표기하고 이를 ff전미분total differential 혹은 완전미분exact differential이라 한다.

df=fx1dx1+fx2dx2++fxndxn \begin{equation} df = \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} }dx_{1} + \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} }dx_{2} + \cdots + \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} }dx_{n} \label{1} \end{equation}

설명

위 정의는 변수 x\mathbf{x}의 변화에 따른 ff 값의 변화를

각 성분의 변화량 dxidx_{i}에, 각 성분의 변화에 따른 ff의 변화율 fxi\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}을 곱한 fxidxi\dfrac{ \partial f}{ \partial x_{i} }dx_{i}들을 모두 더한 것

으로 생각하겠다는 뜻이다. 아래의 식을 통해 이러한 노테이션이 직관적이고 편리하다는 것을 알 수 있다. f=f(x,y,z)f=f(x,y,z)라고 할 때,

dfdx=fxdxdx+fydydx+fzdzdx=fx \dfrac{df}{dx} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dx} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{\partial f}{\partial x}

물리학에서는 다음과 같은 꼴로도 자주 등장한다. (x(t),y(t),z(t))\left( x(t), y(t), z(t) \right)에 대해서,

dfdt=fxdxdt+fydydt+fzdzdt \dfrac{d f}{d t} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{dx}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{dy}{dt} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{dz}{dt}

유도

2변수 함수에 대해서 다음과 같은 방법으로 (1)\eqref{1}을 유도할 수 있다. z=f(x,y)z=f(x,y)가 주어졌다고 하자. zz의 전미분은 변수 xx, yy가 변할 때의 zz의 변화량이라 했으므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

dz=f(x+dx,y+dy)f(x,y) dz = f(x+dx,y+dy)-f(x,y)

여기서 우변에 f(x,y+dy)f(x,y+dy)를 빼주고 더해준 뒤 식을 정리하면 아래와 같다. dz=f(x+dx,y+dy)f(x,y+dy)+f(x,y+dy)f(x,y)=[f(x+dx,y+dy)f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)f(x,y)]=f(x+dx,y+dy)f(x,y+dy)dxdx+f(x,y+dy)f(x,y)dydyfxdx+fydy=zxdx+zydy \begin{align*} dz &= f(x+dx,y+dy) {\color{blue}-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)}-f(x,y) \\ &= [f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)-f(x,y)] \\ &= \frac{f(x+dx,y+dy) -f(x,y+dy)}{dx}dx+\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy \\ &\approx \frac{ \partial f}{ \partial x}dx + \frac{ \partial f}{ \partial y }dy \\ &= \frac{ \partial z}{ \partial x}dx+\frac{ \partial z}{ \partial y}dy \end{align*}