전미분, 완전미분

정의

다변수 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$가 주어졌다고 하자. 변수 $\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$의 변화에 따른 $f(\mathbf{x})$의 변화를 다음과 같이 $\mathrm{d}f$로 표기하고 이를 $f$의 전미분^{total differential} 혹은 완전미분^{exact differential}이라 한다.

$$ \mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\mathrm{d}x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\mathrm{d}x_{2} + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\mathrm{d}x_{n} \tag{1} $$

설명

위 정의는 변수 $\mathbf{x}$의 변화에 따른 $f$ 값의 변화를

각 성분의 변화량 $\mathrm{d}x_{i}$에, 각 성분의 변화에 따른 $f$의 변화율 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$을 곱한 $\dfrac{ \partial f}{ \partial x_{i} }\mathrm{d}x_{i}$들을 모두 더한 것

으로 생각하겠다는 뜻이다. 아래의 식을 통해 이러한 노테이션이 직관적이고 편리하다는 것을 알 수 있다. $f=f(x,y,z)$라고 할 때,

$$ \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\partial f}{\partial x} $$

물리학에서는 다음과 같은 꼴로도 자주 등장한다. $\left( x(t), y(t), z(t) \right)$에 대해서,

$$ \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{ \partial f}{ \partial x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{ \partial f}{ \partial y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + \frac{ \partial f}{ \partial z}\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} $$

한편 $(1)$은 아래와 같이 그래디언트를 포함한 꼴로도 표현 가능하다.

$$ \begin{align*} \mathrm{d}f &= \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} }\mathrm{d}x_{1} + \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} }\mathrm{d}x_{2} + \cdots + \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} }\mathrm{d}x_{n} \\[1em] &= \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}, \dots, \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}} \right) \cdot (\mathrm{d}x_{1}, \dots, \mathrm{d}x_{n}) \\ &= \nabla f \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} \end{align*} $$

유도

2변수 함수에 대해서 다음과 같은 방법으로 $\eqref{1}$을 유도할 수 있다. $z=f(x,y)$가 주어졌다고 하자. $z$의 전미분은 변수 $x$, $y$가 변할 때의 $z$의 변화량이라 했으므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathrm{d}z = f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y)-f(x,y) $$

여기서 우변에 $f(x,y+\mathrm{d}y)$를 빼주고 더해준 뒤 식을 정리하면 아래와 같다. $$ \begin{align*} \mathrm{d}z &= f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y) {\color{blue}-f(x,y+\mathrm{d}y)+f(x,y+\mathrm{d}y)}-f(x,y) \\ &= [f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y) -f(x,y+\mathrm{d}y)]+[f(x,y+\mathrm{d}y)-f(x,y)] \\ &= \frac{f(x+\mathrm{d}x,y+\mathrm{d}y) -f(x,y+\mathrm{d}y)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+\frac{f(x,y+\mathrm{d}y)-f(x,y)}{\mathrm{d}y}\mathrm{d}y \\ &\approx \frac{ \partial f}{ \partial x}\mathrm{d}x + \frac{ \partial f}{ \partial y }\mathrm{d}y \\ &= \frac{ \partial z}{ \partial x}\mathrm{d}x+\frac{ \partial z}{ \partial y}\mathrm{d}y \end{align*} $$

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